圖像處理——卷積原理、二維卷積python實現

一：什麼是卷積

離散卷積的數學公式能夠表示爲以下形式：

f(x) =  - 其中C(k)表明卷積操做數，g(i)表明樣本數據, f(x)表明輸出結果。

舉例以下：

假設g(i)是一個一維的函數，並且表明的樣本數爲G = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]

假設C(k)是一個一維的卷積操做數, 操做數爲C=[-1,0,1]

則輸出結果f(x)能夠表示爲 F=[1,2,2,2,2,2,2,2,1]  //邊界數據未處理

 

以上只是一維的狀況下，當對一幅二維數字圖像加以卷積時，其數學意義能夠解釋以下：

源圖像是做爲輸入源數據，處理之後要的圖像是卷積輸出結果，卷積操做數做爲Filter

在XY兩個方向上對源圖像的每一個像素點實施卷積操做。如圖所示：

 

粉紅色的方格每次在X/Y前進一個像素方格，就會產生一個新的輸出像素，圖中深藍色的代

表要輸出的像素方格，走徹底部的像素方格，就獲得了全部輸出像素。

 

圖中，粉紅色的矩陣表示卷積操做數矩陣，黑色表示源圖像– 每一個方格表明一個像素點。

 

二：卷積在數字圖像處理中應用

一副數字圖像能夠看做一個二維空間的離散函數能夠表示爲f(x, y), 假設有對於二維卷積操

做函數C(u, v) ，則會產生輸出圖像g(x, y) = f(x, y) *C(u,v), 利用卷積能夠實現對圖像模糊處理，邊緣檢測，產生軋花效果的圖像。

 

一個簡單的數字圖像卷積處理流程能夠以下：

1.      讀取源圖像像素

2.      應用卷積操做數矩陣產生目標圖像

3.      對目標圖像進行歸一化處理

4.      處理邊界像素

三使用模板處理圖像相關概念：     

      模板：矩陣方塊，其數學含義是一種卷積運算。
      卷積運算：可看做是加權求和的過程，使用到的圖像區域中的每一個像素分別於卷積核(權矩陣)的每一個元素對應相
                乘，全部乘積之和做爲區域中心像素的新值。
      卷積核：卷積時使用到的權用一個矩陣表示，該矩陣與使用的圖像區域大小相同，其行、列都是奇數，
              是一個權矩陣。
      卷積示例：
              3 * 3 的像素區域R與卷積核G的卷積運算：
              R5(中心像素)=R1G1 + R2G2 + R3G3 + R4G4 + R5G5 + R6G6 + R7G7 + R8G8 + R9G9
            

四使用模板處理圖像的問題：
       邊界問題：當處理圖像邊界像素時，卷積核與圖像使用區域不能匹配，卷積核的中心與邊界像素點對應，
                 卷積運算將出現問題。
       處理辦法：
              A． 忽略邊界像素，即處理後的圖像將丟掉這些像素。
              B． 保留原邊界像素，即copy邊界像素處處理後的圖像。

五.經常使用模板：

 

六其餘

 

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

 如下用$符號表示從負無窮大到正無窮大的積分。   
    
  一維卷積：   
  y(t)=g(k)*x(k)=$g(k)x(t-k)   
  先把函數x(k)相對於原點反折，而後向右移動距離t，而後兩個函數相乘再積分，就獲得了在t處的輸出。對每一個t值重複上述過程，就獲得了輸出曲線。   
    
  二維卷積：   
  h(x,y)=f(u,v)*g(u,v)=$$f(u,v)g(x-u,y-v)   
  先將g(u,v)繞其原點旋轉180度，而後平移其原點，u軸上像上平移x，   v軸上像上平移y。而後兩個函數相乘積分，獲得一個點處的輸出。   

在圖像中卷積是什麼意思呢,就是圖像就是圖像f(x),模板是g(x),而後將模版g(x)在模版中移動,每到一個位置,就把f(x)與g(x)的定義域相交的元素進行乘積而且求和,得出新的圖像一點,就是被卷積後的圖像.模版又稱爲卷積核.卷積核作一個矩陣的形狀。因爲大多數模板都是對稱的，因此模板不旋轉。 

 

二維圖像卷積運算

import numpy as np
from scipy import signal
from scipy import misc
import matplotlib.pyplot as plt
face=misc.face(gray=True) #建立一個灰度圖像
scharr=np.array([[-3-3j,0-10j,+3-3j],
        [-10+0j,0+0j,+10+0j],
         [-3+3j,0+10j,+3+3j]]) #設置一個特殊的卷積和
grad=signal.convolve2d(face,scharr,boundary='symm',mode='same') #把圖像的face數組和設計好的卷積和做二維卷積運算,設計邊界處理方式爲symm
fig,(ax1,ax2)=plt.subplots(1,2,figsize=(10,6)) #創建1行2列的圖fig
ax1.imshow(face,cmap='gray') #顯示原始的圖
<matplotlib.image.AxesImage object at 0x00000000078FC198>
 ax1.set_axis_off() #不顯示座標軸
 ax2.imshow(np.absolute(grad),cmap='gray') #顯示卷積後的圖
<matplotlib.image.AxesImage object at 0x00000000078FCE48>
 ax2.set_axis_off() #不顯示座標軸
 fig.show() #顯示繪製好的畫布