「Sdchr 的邀請賽」題解

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A：取石子

將點 x 與點 x / prime 連邊，那麼這個圖能夠由指數之和的奇偶性來劃分紅一個二分圖。

接下來考慮推廣階梯 NIM （或者這本來就是階梯 NIM ？），必勝當且僅當奇數層的點上的石子數的異或和不爲 0 ，因此進行一下計數就行了。

B：重返現世

如何處理 \(k = n\) ？考慮 \(\text{max-min}\) 容斥，而後 DP 。網上資料不少，這裏不贅述。

考慮將 \(\text{max-min}\) 推廣到 \(\text{kthmax-min}\) 容斥？
\[ \text{kthmax(S)} = \sum_{T \subset S} \min(T) f(|T|) \]
對第 \(x+1\) 大的元素，創建實際應該計算的次數與上述式子中計算的次數的聯繫，
\[ [x + 1 = k] = \sum \binom{x}{i} f(i+1) \]

\[ f(x) = (-1) ^ {x - k} \binom{x - 1}{k - 1} \]

\[ \text{kthmax} (S) = \sum_{T \subset S} \frac{m}{\sum_{i \in S} p_i} (-1) ^ {|T| - k} \binom{|T| - 1}{k - 1} \]

而後考慮設計一個 DP ，設 \(f(i, j, k)\) 表示處理了前 \(i\) 位，\(\sum_{i \in S} p_i = j\) ，組合數的下指標爲 \(k\) 時的
\[ \sum_T (-1) ^ {|T| - k} \binom{|T| - 1}{k - 1} \]
邊界和轉移都須要用到一點組合數的知識。

C：畫畫

比賽進行的時候，我去 OEIS 上找到了前 60 項。。。早知我出到 65 項，測了第 61 項只須要跑兩秒。。。

首先你們能夠作作 BZOJ 1408 ，再來看這個問題。

這個問題就一樣是枚舉分拆數，而後瞎計數。我本身的作法是大力分析一下，這個分析過程比較複雜就不贅述了；或者也能夠直接 \(O(n ^ 6)\) 進行高斯消元，而二者的本質是同樣的，由於一張圖的線性基就是一個森林。

出完這道題的時候發現，的確能夠作到 \(n\) 個點的無標號連通歐拉圖計數，設上述答案爲 \(g(n)\) ，\(n\) 個點的無標號連通歐拉圖的個數爲 \(f(n)\) ，構建普通生成函數，則
\[ G(x) = \prod \frac{1}{(1 - x ^ i) ^ {f(i)}} \]

\[ \ln G(x) = \sum_i - f(i) \ln (1 - x ^ i) = \sum_i f(i) \sum_{j \ge 1} \frac{x ^ {ij}}{j} = \sum_{t \ge 1} x ^ t (\sum_{ij = t} \frac{f(i)}{j}) \]

D：信息傳遞

考慮 \(f\) 的某個輪換 \(s\) ，在 \(n\) 次置換下會變成什麼？

那麼，能夠將多少個 \(f ^ n\) 的大小爲 \(s\) 的輪換進行合併，以及合併的方案數？

以後對每種不一樣的大小求 \(exp\) ，而後相乘便可。