神經網絡-**函數-Activation

    轉載自：http://blog.csdn.net/cyh_24/article/details/50593400，感謝原博主的整理和分享。

    日常 coding 中，我們會很自然的使用一些**函數，比如：sigmoid、ReLU等等。不過好像忘了問自己一()件事：

1. 爲什麼需要**函數？
2. **函數都有哪些？都長什麼樣？有哪些優缺點？
3. 怎麼選用**函數？

    本文正是基於這些問題展開的，歡迎批評指正！

Why use activation functions?

    **函數通常有如下一些性質：

• 非線性： 當**函數是線性的時候，一個兩層的神經網絡就可以逼近基本上所有的函數了。但是，如果**函數是恆等**函數的時候，就不滿足這個性質了，而且如果MLP使用的是恆等**函數，那麼其實整個網絡跟單層神經網絡是等價的。
• 可微性： 當優化方法是基於梯度的時候，這個性質是必須的。
• 單調性： 當**函數是單調的時候，單層網絡能夠保證是凸函數。
• ： 當**函數滿足這個性質的時候，如果參數的初始化是random的很小的值，那麼神經網絡的訓練將會很高效；如果不滿足這個性質，那麼就需要很用心的去設置初始值。
• 輸出值的範圍： 當**函數輸出值是 有限 的時候，基於梯度的優化方法會更加 穩定，因爲特徵的表示受有限權值的影響更顯著；當**函數的輸出是 無限 的時候，模型的訓練會更加高效，不過在這種情況小，一般需要更小的learning rate。

    這些性質，也正是我們使用**函數的原因。

Activation Functions.

Sigmoid

    Sigmoid 是常用的非線性的**函數，它的數學形式如下： 

    正如前一節提到的，它能夠把輸入的連續實值「壓縮」到0和1之間。 
    特別的，如果是非常大的負數，那麼輸出就是0；如果是非常大的正數，輸出就是1.   
    Sigmoid 函數曾經被使用的很多，不過近年來，用它的人越來越少了。主要是因爲它的一些 缺點：

• Sigmoids saturate and kill gradients. （saturate 這個詞怎麼翻譯？飽和？）sigmoid 有一個非常致命的缺點，當輸入非常大或者非常小的時候（saturation），這些神經元的梯度是接近於0的，從圖中可以看出梯度的趨勢。所以，你需要尤其注意參數的初始值來儘量避免saturation的情況。如果你的初始值很大的話，大部分神經元可能都會處在saturation的狀態而把gradient kill掉，這會導致網絡變的很難學習。
• Sigmoid 的 output 不是0均值. 這是不可取的，因爲這會導致後一層的神經元將得到上一層輸出的非0均值的信號作爲輸入。 
  產生的一個結果就是：如果數據進入神經元的時候是正的(e.g.  elementwise in )，那麼  計算出的梯度也會始終都是正的。 
  當然了，如果你是按batch去訓練，那麼那個batch可能得到不同的信號，所以這個問題還是可以緩解一下。因此，非0均值這個問題雖然會產生一些不好的影響，不過跟上面提到的 kill gradients 問題相比還是要好很多的。

tanh

    tanh 是上圖中的右圖，可以看出，tanh 跟sigmoid還是很像的，實際上，tanh 是sigmoid的變形： 

    與 sigmoid 不同的是，tanh 是0均值的。因此，實際應用中，tanh 會比 sigmoid 更好（畢竟去粗取精了嘛）。

ReLU

    近年來，ReLU 變的越來越受歡迎。它的數學表達式如下： 

    很顯然，從圖左可以看出，輸入信號時，輸出都是0， 的情況下，輸出等於輸入。 是二維的情況下，使用ReLU之後的效果如下：

ReLU 的優點：

• Krizhevsky et al. 發現使用 ReLU 得到的SGD的收斂速度會比 sigmoid/tanh 快很多(看右圖)。有人說這是因爲它是linear，而且 non-saturating
• 相比於 sigmoid/tanh，ReLU 只需要一個閾值就可以得到**值，而不用去算一大堆複雜的運算。

ReLU 的缺點： 當然 ReLU 也有缺點，就是訓練的時候很」脆弱」，很容易就」die」了. 什麼意思呢？

舉個例子：一個非常大的梯度流過一個 ReLU 神經元，更新過參數之後，這個神經元再也不會對任何數據有**現象了。

    如果這個情況發生了，那麼這個神經元的梯度就永遠都會是0.

    實際操作中，如果你的learning rate 很大，那麼很有可能你網絡中的40%的神經元都」dead」了。 
當然，如果你設置了一個合適的較小的learning rate，這個問題發生的情況其實也不會太頻繁。

Leaky-ReLU、P-ReLU、R-ReLU

    Leaky ReLUs： 就是用來解決這個 「dying ReLU」 的問題的。與 ReLU 不同的是： 

    這裏的  是一個很小的常數。這樣，即修正了數據分佈，又保留了一些負軸的值，使得負軸信息不會全部丟失。

    關於Leaky ReLU 的效果，衆說紛紜，沒有清晰的定論。有些人做了實驗發現 Leaky ReLU 表現的很好；有些實驗則證明並不是這樣。

    Parametric ReLU： 對於 Leaky ReLU 中的，通常都是通過先驗知識人工賦值的。 
    然而可以觀察到，損失函數對的導數我們是可以求得的，可不可以將它作爲一個參數進行訓練呢？ 

    Kaiming He的論文《Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification》指出，不僅可以訓練，而且效果更好。

    公式非常簡單，反向傳播至未**前的神經元的公式就不寫了，很容易就能得到。對的導數如下：

    原文說使用了Parametric ReLU後，最終效果比不用提高了1.03%.

    Randomized ReLU： 
    Randomized Leaky ReLU 是 leaky ReLU 的random 版本 （ 是random的）. 
    它首次試在 kaggle 的NDSB 比賽中被提出的。

核心思想就是，在訓練過程中， 是從一個高斯分佈  中 隨機出來的，然後再測試過程中進行修正（有點像dropout的用法）。

    數學表示如下：

    在測試階段，把訓練過程中所有的  取個平均值。NDSB 冠軍的  是從  中隨機出來的。那麼，在測試階段，**函數就是就是： 

    看看 cifar-100 中的實驗結果：

Maxout

    Maxout出現在ICML2013上，作者Goodfellow將maxout和dropout結合後，號稱在MNIST, CIFAR-10, CIFAR-100, SVHN這4個數據上都取得了start-of-art的識別率。 
    Maxout 公式如下： 

    假設  是2維，那麼有： 

    可以注意到，ReLU 和 Leaky ReLU 都是它的一個變形（比如， 的時候，就是 ReLU）.

    Maxout的擬合能力是非常強的，它可以擬合任意的的凸函數。作者從數學的角度上也證明了這個結論，即只需2個maxout節點就可以擬合任意的凸函數了（相減），前提是」隱隱含層」節點的個數可以任意多.

    所以，Maxout 具有 ReLU 的優點（如：計算簡單，不會 saturation），同時又沒有 ReLU 的一些缺點 （如：容易 Go die）。不過呢，還是有一些缺點的嘛：就是把參數double了。

    還有其他一些**函數，請看下錶：

How to choose a activation function?

    怎麼選擇**函數呢？

    我覺得這種問題不可能有定論的吧，只能說是個人建議。

    如果你使用 ReLU，那麼一定要小心設置 learning rate，而且要注意不要讓你的網絡出現很多 「dead」 神經元，如果這個問題不好解決，那麼可以試試 Leaky ReLU、PReLU 或者 Maxout.

    友情提醒：最好不要用 sigmoid，你可以試試 tanh，不過可以預期它的效果會比不上 ReLU 和 Maxout.

    還有，通常來說，很少會把各種**函數串起來在一個網絡中使用的。

Reference

[1]. http://www.faqs.org/faqs/ai-faq/neural-nets/part2/section-10.html 
[2]. http://papers.nips.cc/paper/874-how-to-choose-an-activation-function.pdf 
[3]. https://en.wikipedia.org/wiki/Activation_function 
[4]. http://cs231n.github.io/neural-networks-1/