歐拉定理

歐拉定理

歐拉定理，是指對於全部的 \(n\)，若 \(a\) 與 \(n\) 互質，那麼

\[a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n} \]

證實

那麼這個東西是怎麼來的呢？
咱們首先把 \(1\)~\(n-1\) 中與 \(n\) 互質的數放到一個集合 \(X\) 裏：

\[X=\{ x_1,x_2,\cdots ,x_{\phi(n)} \} \]

而後，咱們再用一個集合 \(M\) 記錄 \(a \times x_i\)：

\[M=\{ a \times x_1,a \times x_2,\cdots,a \times x_{\phi(n)} \} \]

而後，咱們要證實兩個東西。

證實 M 內全部的元素模 n 後不一樣餘

這裏咱們用反證法，假設存在 \(i,j \in M\) 且 \(i \not= j\) 並知足

\[m_i \equiv m_j \pmod{n} \]

那麼，咱們把他拆開來：

\[a \times x_i \equiv a \times x_j \pmod{n} \]

這裏咱們假設 \(m_i > m_j\)再移個項：

\[a \times x_i - a \times x_j \equiv 0 \pmod{n} \]

因爲 \(a\) 與 \(n\) 互質：

\[x_i - x_j \equiv 0 \pmod{n} \]

那麼，因爲 \(x_i,x_j\) 都小於 \(n\)，因此 \(x_i - x_j < n\)，又由於 \(x_i \not= x_j\)，因此假設不成立。

證實 M 中的每一個元素模 n 後都與 n 互質

這個很簡單粗暴。
咱們知道 \(m_i=a \times x_i\)。
因爲 \(a\) 與 \(n\) 互質，\(x_i\) 也與 \(n\) 互質，因此 \(m_i\) 模 \(n\) 後也與 \(n\) 互質。
其實帶到歐幾里得算法裏推一下就行了：

\[gcd(a \times x_i,n)=gcd(m_i,n)=gcd(n,m_i \bmod n)=1 \]

推柿子

根據上面兩個性質，就能夠推柿子了：

\[m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_{\phi(n)} \equiv x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \pmod{n} \]

\[a \times x_1 \times a \times x_2 \times \cdots \times a \times x_{\phi(n)} \equiv x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \pmod{n} \]

\[a^{\phi(n)} \times x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \equiv x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \pmod{n} \]

\[(a^{\phi(n)}-1) \times x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_{\phi(n)} \equiv 0 \pmod{n} \]

\[a^{\phi(n)} \equiv 0 \pmod{n} \]

因而就搞出來啦~

費馬小定理

呼_{終於證完了}
啥？還有費馬小定理？
費馬小定理其實就是歐拉定理的一個特殊的狀況啦~
費馬小定理是說，若 \(n\) 爲質數，那麼對於全部知足 \(a \nmid n\) 的 \(a\)，都有

\[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{n} \]

爲何說費馬小定理是歐拉定理的一個特殊狀況呢？由於當 \(n\) 爲質數時，\(\phi(n)=n-1\)，並且 \(a \nmid n\) 就至關於 \(a\) 與 \(n\) 互質。