關於歐拉定理

時間 2019-11-11

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歐拉定理:

內容：

若正整數$a,n$$\color{red}{互質}$，則$a^{\varphi (n)}$$\equiv$ $1(mod $ $n)$ 其中$\varphi (n)$是歐拉函數$(1 $~ $n)$與$n$互質的數函數

證實：

設$x_1,x_2,x_{\varphi (n)}$是$1$到$n$中與$n$互質的數
這些數有以下性質：
$1$.任意兩個數模$n$餘數不一樣。由於這些數比$n$小，且互不相同，因此他們模完以後是自己，那麼餘數必定互不相同。
$2$.對於任意的$ax_i(mod$ $n)$都與$n$互質。啊，這個咋講啊，$emmmm$仍是借鑑我看的博客的思路吧，咱們考慮若是$n$作分母$a$作分子，那這是一個最簡分數，不能再約分，由於$n$與$a$互質沒有公約數了，同理把分子換成$x_i$也是這樣的，他倆單獨的與$n$都沒有公約數，就算乘起來他們也沒有公約數的。學習

聽說咱們能夠巧妙的發現（我並無去驗證）集合$\{$$ax_1(mod$ $n)$,$ax_2(mod$ $n)$......$ax_{\varphi (n)}(mod$ $n)$$\}$實際上是與集合$\{$$x_1,x_2......x_{\varphi (n)}$$\}$是同樣同樣的，因此他們裏邊全部的元素乘起來也是相等的。由此$ax_1 * ax_2 *...... * ax_{\varphi(n)}$ $\equiv$ $x_1*x_2*......*x_{\varphi(n)}$ $(mod$ $n)$因而咱們能夠獲得$(a^{\varphi(n)}-1)$ $x_1 * x_2 * ......x_{\varphi(n)}$ $\equiv 0$ $(mod \ n)$
由於左邊括號外邊的那些東西是與$n$互質的因此$a^{\varphi(n)} -1| \ n$ 那麼，$a^{\varphi(n)} \equiv 1 (mod \ n)$ui