數學：歐拉定理

若n,a爲正整數，且n,a互質，(a,n) = 1，則a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 
特別的φ（1）=1

費馬小定理是歐拉定理的一種特殊狀況

以前介紹的費馬小定理是用來化簡冪取模運算的，歐拉定理一樣能夠作到：

a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)

這樣就能夠了

以前的費馬小定理是讓指數部分模一個p-1

而後這裏是讓指數部分模一個歐拉函數φ（m）其實一個意思

看一道例題，HDU1395

2^x mod n = 1，或者寫成 2^x ≡ 1 (mod n) 

求x

而後發現n爲偶數或者是n爲0時無解，答案一定是一個奇數

而後根據歐拉定理：

歐拉定理:a^(euler_phi(n))≡1(mod n),(a,n互質)

其中euler_phi爲歐拉函數，計算不超過n且與n互質的個數

求法是n*∏(pi-1)/pi,pi爲n的質因子

這裏能夠表示爲：m=euler_phi(n)

因此a^m%mod=1

不過m不必定是最小循環節，但m是一個循環節，則最小循環節一定是m的一個因子

於是找出全部m的因子，暴力搜索下就行了

其實這個的重點是求歐拉函數，歐拉函數也是有相似於埃式篩法的計算方法的

 1 //2^x mod n = 1
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;  6 long long t,mod;  7 long long e[1005];  8 long long euler_phi(long long n)  9 { 10     long long m=sqrt(n+0.5); 11     long long ans=n; 12     for(int i=2;i<=m;i++) 13  { 14         if(n%i==0) 15  { 16             ans=ans/i*(i-1); 17             while(n%i==0) n=n/i; 18  } 19  } 20     if(n>1) ans=ans/n*(n-1); 21     return ans; 22 } 23 void find(long long n) 24 { 25     e[t++]=n; 26     for(int i=2;i*i<=n;i++) 27  { 28         if(n%i==0) 29  { 30             if(i*i==n) e[t++]=i; 31             else
32  { 33                 e[t++]=i; 34                 e[t++]=n/i; 35  } 36  } 37  } 38 } 39 long long pows(long long a,long long b) 40 { 41     long long s=1; 42     while(b!=0) 43  { 44         if(b&1) s=(s*a)%mod; 45         a=(a*a)%mod; 46         b=b>>1; 47  } 48     return s; 49 } 50 int main() 51 { 52     long long n; 53     while(scanf("%lld",&n)==1) 54     if(n%2==0||n==1) 55         printf("2^? mod %d = 1\n",n); 56     else
57  { 58         long long m,ans; 59         m=euler_phi(n); 60         t=0; 61  find(m); 62         sort(e,e+t); 63         mod=n; 64         for(int i=0;i<t;i++) 65  { 66             if(pows(2,e[i])==1) 67  { 68                 ans=e[i]; 69                 break; 70  } 71  } 72         printf("2^%d mod %d = 1\n",ans,n); 73  } 74     return 0; 75 }

 再回過頭來對比一下歐拉定理和費馬小定理

費馬小定理要求模數p必須是個質數，且a和p互質：a^(p-1) ≡1（mod p）

歐拉定理只要求a和m互質便可：a^φ(m)≡1(mod m)