【題解】[SDOI2009]學校食堂

很早很早以前就以爲是一個麻煩的題目也感受很簡單不想寫……結果今天寫的時候發現以前的想法假了（因此不要口胡題目不寫代碼）

[SDOI2009]學校食堂

\(\text{Solution:}\)

看到 \(b[i]\leq 7\) 的數據範圍先想到狀壓。

考慮狀壓一我的後面的人的打飯狀況，那麼能夠設 \(f[i][S]\) 表示前 \(i\) 我的已經打完飯，\(i+1\to i+b[i]\) 的打飯狀況是 \(S\) 的最小時間。

可是會發現一件很棘手的事情：當咱們去用 \(S\) 轉移的時候，把一我的放到前面影響的不單單是 \(i\) 一個位置，更有 \(i\to pos\) 之間的全部位置。

也就是說，若是我想要把一個位置提早，那麼它必須知足全部尚未打飯的人的容忍度，這個東西是單調遞減的。

因此咱們能夠考慮在 \(dp\) 的時候來維護一個範圍，若是當前枚舉的人已經超過合法範圍了，那咱們就直接 \(pass.\)

繼續考慮，若是咱們讓一我的 \(j\) 到前面去，代價應該是什麼呢？

因爲這個狀態的設計，咱們發現咱們沒有辦法得到上一次打飯的人的編號。因而，這個編號應該也做爲 \(dp\) 裏面的一個維度。

發現空間很大怎麼辦，考慮到這我的和 \(i\) 的差異不超過 \(8\) 因而咱們能夠考慮用一個 「位移長度」 \(k\) ，以 \(i+k\) 表明上一次打飯的人的編號。這樣就解決了空間的問題。

繼續考慮，發現若是這樣設計狀態 對於第一個位置 \(1\) 來講，\(i\) 已經打完飯的最優解其實是不是很好肯定的。由於第一道菜不須要時間。因而咱們稍微改一下方程：

\(f[i][j][k]\) 表示前 \(i-1\) 我的全都打完飯了，當前人們的打飯狀態爲 \(j,\) 上一次打飯的人的編號是 \(i+k\) 的最小時間。

發現這個 \(k\) 其實是能夠到 \(-8\) 的，由於能夠把一個編號靠後的人拿到前面去，這樣上一次打飯的人和 \(i\) 這一層就有可能差出 \(8.\)

爲了解決這個問題，考慮把數組總體平移一下，加上一個 \(8\) 就好了。

那麼，考慮轉移：若是當前 \(i\) 已經打飯了，觀察一下這個狀態 顯然對於 \(f[i+1][j>>1][k+7]\) 這個狀態，\(f[i][j][k+8]\) 是和它等價的。

因而直接轉移便可。

另外一種轉移是考慮枚舉一我的去打飯，這個時候咱們須要同時維護一下一個容忍度的上界，轉移的時候還須要特別注意是否是第一我的。

關於初始化 \(f[1][0][7]=0\) 是指上一個打飯的人是 \(1\) 前面的一我的，且 \(0\) 後面的人都沒有打飯。

轉移就是：

 

\[\text{f[i][j|(1<<p)][p+8]=min\{dp[i][j][k+8]+(t[i+k] xor t[i+p])\} } \]

 

這裏是異或的緣由是\(\text{a or b-a and b=a xor b}\)

最後統計答案要統計 \(n+1\) 的，由於狀態設計的是 \(i-1\) 所有填滿。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int dyx=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=2e3+10;
int f[MAXN][1<<9][20];
int n,t[MAXN],b[MAXN];
inline int Min(int x,int y){return x<y?x:y;}
void solve(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d%d",&t[i],&b[i]);
	memset(f,dyx,sizeof f);f[1][0][7]=0;
	for(int i=1;i<=n+1;++i)
		for(int j=0;j<(1<<8);++j)
			for(int k=-8;k<8;++k){
				if(f[i][j][k+8]!=dyx){
					if(j&1)f[i+1][j>>1][k+7]=Min(f[i+1][j>>1][i+7],f[i][j][k+8]);
					else{
						int R=dyx;
						for(int p=0;p<8;++p){
							if(j>>p&1)continue;
							if(i+p>R)break;
							R=Min(R,i+p+b[i+p]);
							f[i][j|(1<<p)][p+8]=Min(f[i][j|(1<<p)][p+8],f[i][j][k+8]+(k+i>0?(t[i+k]^t[i+p]):0));
						}
					}
				}
			}
	int ans=dyx;
	for(int i=0;i<=15;++i)ans=Min(ans,f[n+1][0][i]);
	cout<<ans<<endl;
	for(int i=1;i<=n;++i)t[i]=b[i]=0;
}
int main(){
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		solve();
	}
	return 0;
}