面經手冊 · 第6篇《帶着面試題學習紅黑樹操做原理，解析何時染色、怎麼進行旋轉、與2-3樹有什麼關聯》

做者：小傅哥
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1、前言

紅黑樹，是一種高效的自平衡二叉查找樹

Rudolf Bayer 於1978年發明紅黑樹，在當時被稱爲對稱二叉 B 樹(symmetric binary B-trees)。後來，在1978年被 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 修改成現在的紅黑樹。

紅黑樹具備良好的效率，它可在近似O(logN) 時間複雜度下完成插入、刪除、查找等操做，所以紅黑樹在業界也被普遍應用，好比 Java 中的 TreeMap，JDK 1.8 中的 HashMap、C++ STL 中的 map 均是基於紅黑樹結構實現的。

死記硬背，很難學會

紅黑樹的結構和設計都很是優秀，也一樣在實現上有着複雜的處理邏輯，包括插入或者刪除節點時；顏色變化、旋轉操做等操做。但若是隻把這些知識點硬背下來，何時染色、何時旋轉，是沒有多大意義的，用不了多久也就忘記了。因此這部分的學習，瞭解其根本更重要。

2、面試題

謝飛機，考你幾個紅黑樹的知識點🦀

1. 紅黑樹的數據結構都用在哪些場景，有什麼好處？
2. 紅黑樹的時間複雜度是多少？
3. 紅黑樹中插入新的節點時怎麼保持平衡？

🤥飛機，2-3樹是不沒看，回去等消息吧！

3、2-3樹與紅黑樹的等價性

在上一章節《講解2-3平衡樹「紅黑樹的前身」》，使用了大量圖例講解了2-3樹，並在標題處寫出它是紅黑樹的前身。閱讀後更容易理解紅黑樹相關知識。

紅黑樹規則

1. 根節點是黑色
2. 節點是紅黑或者黑色
3. 全部子葉節點都是黑色(葉子是NIL節點，默認沒有畫出來)
4. 每一個紅色節點必須有兩個黑色子節點(也一樣說明一條鏈路上不能有鏈路的紅色節點)
5. 黑高，從任一節點到齊每一個葉子節點，通過的路徑都包含相同數目的黑色節點

那麼，這些規則是怎麼總結定義出來的呢？接下里咱們一步步分析講解。

1. 爲何既有2-3樹要有紅黑樹

首先2-3樹(讀法：二三樹)就是一個節點有1個或者2個元素，而實際上2-3樹轉紅黑樹是由概念模型2-3-4樹轉換而來的。-4叉就是一個節點裏有3個元素，這在2-3樹中會被調整，可是在概念模型中是會被保留的。

雖然2-3-4樹也是具有2-3樹一樣的平衡樹的特性，可是若是直接把這樣的模型用代碼實現就會很麻煩，且效率不高，這裏的複雜點包括；

1. 2-叉、3-叉、4-叉，三種結構的節點類型，互相轉換複雜度較高
2. 3-叉、4-叉，節點在數據比較上須要進行屢次，不像2-叉節點，直接布爾類型比較便可非左即右
3. 代碼實現上對每種差別，都須要有額外的代碼，規則不夠標準化

因此，但願找到一種平衡關係，既保持2-3樹平衡和O(logn)的特性，又能在代碼實現上更加方便，那麼就誕生了紅黑樹。

2. 簡單2-3樹轉紅黑樹

2-3樹轉紅黑樹，也能夠說紅黑樹是2-3樹和2-3-4樹的另一種表現形式，也就是更利於編碼實現的形式。

簡單轉換示例；

從上圖能夠看出，2-3-4樹與紅黑樹的轉換關係，包括；

1. 2-叉節點，轉換比較簡單，只是把原有節點轉換爲黑色節點
2. 3-叉節點，包括了2個元素，先用紅色線把兩個節點相連，以後拆分出來，最後調整高度黑色節點在上
3. 4-叉節點，包括了3個元素，分別用紅黑線鏈接，以後拆分出來拉昇高度。這個拉昇過程和2-3樹調整一致，只是添加了顏色

綜上，就是2-3-4樹的節點轉換，總結出來的規則，以下；

1. 將2-3-4樹，用二叉樹的形式表示
2. 3-叉、4-叉節點，使用紅色、黑色連線進行鏈接
3. 另外，3-叉節點有兩種狀況，致使轉換成二叉樹，就有左傾和右傾

3. 複雜2-3樹轉紅黑樹

在簡單2-3樹轉換紅黑樹的過程當中，瞭解到一個基本的轉換規則右旋定義，接下來咱們在一個稍微複雜一點的2-3樹與紅黑樹的對應關係，以下圖；

上圖是一個稍微複雜點的2-3樹，轉換爲紅黑樹的過程，是不這樣一張圖讓你對紅黑樹更有感受了，同時它也知足一下條件；

1. 從任意節點到葉子節點，所通過的黑色節點數目相同
2. 黑色節點保持着總體的平衡性，也就是讓整個紅黑樹接近於O(logn)時間複雜度
3. 其餘紅黑樹的特色也都知足，能夠對照紅黑樹的特性進行比對

4、紅黑樹

1. 平衡操做

經過在上一章節2-3樹的學習，在插入節點時並不會插到空位置，而是與現有節點融合以及調整，保持整個樹的平衡。

而紅黑樹是2-3-4樹的一種概念模型轉換而來，在插入節點時經過紅色連接相連，也就是插入紅色節點。插入完成後進行調整，以保持樹接近平衡。

那麼，爲了讓紅黑樹達到平衡狀態，主要包括染色、↔左右旋轉、這些作法其實都是從2-3樹演化過來的。接下來咱們就分別講解幾種規則的演化過程，以此更好了解紅黑樹的平衡操做。

1.1 左旋轉

左旋定義： 把一個向右傾斜的紅節點連接(2-3樹，3-叉雙元素節點)，轉化爲左連接。

背景：順序插入元素，一、二、3，2-3樹保持平衡，紅黑樹暫時處於右傾斜。

接下來咱們分別對比兩種樹結構的平衡操做；

1. 2-3樹，全部插入的節點都會保持在一個節點上，以後經過調整節點位置，保持平衡。
2. 紅黑樹，則須要經過節點的左側旋轉，將元素2拉起來，元素1和元素3，分別成爲左右子節點。

紅黑樹的左旋，只會處理與之對應的2-3樹節點進行操做，不會總體改變。

1.2 右旋轉

右旋定義： 把一個向左傾斜的紅節點鏈接(2-3樹，3-叉雙元素節點)，轉換爲右鏈接。

背景：順序插入元素，三、一、1，2-3樹保持平衡，紅黑樹暫時處於左傾斜。

接下來咱們分別對比兩種樹結構的平衡操做；

1. 2-3樹，全部插入的節點都會保持在一個節點上，以後經過調整節點位置，保持平衡。
2. 紅黑樹，則須要經過節點的右側旋轉，將元素2拉起來，元素1和元素3，分別成爲左右子節點。

你會發現，左旋與右旋是相互對應的，但在2-3樹中是保持不變的

1.3 左右旋綜合運用

左旋、右旋，咱們已經有了一個基本的概念，那麼接下來咱們再看一個能夠綜合左右旋以及對應2-3樹的演化案例，以下；

以上的例子分別演示了一個元素插入的三種狀況，以下；

1. 一、3，插入0，左側底部插入，與2-3樹相比，須要右旋保持平衡
2. 一、3，插入2，中間位置插入，首先進行左旋調整元素位置，以後進行右旋進行樹平衡
3. 一、3，插入5，右側位置插入，此時正好保持樹平衡，不須要調整

1.4 染色

在2-3樹中，插入一個節點，爲了保持樹平衡是不插入到空位置上的，當插入節點後元素數量有3個後則須要調整中間元素向上，來保持樹平衡。與之對應的紅黑樹則須要調整顏色，來保證紅黑樹的平衡規則，具體參考以下；

2. 旋轉+染色運用案例

接下來咱們把上面講解到的旋轉、染色，運用到一個實際案例中，以下圖；

• 首先從左側開始，是一個按照順序插入生產出來的紅黑樹，插入順序；`七、二、八、一、四、三、5

`

• α，向目前紅黑樹插入元素6，插入後右下角有三個紅色節點；三、五、6。
• β，由於右下角知足染色條件，變換後；黑色節點(三、5)、紅色節點(四、6)。
• γ，以後看被紅色連線連接的節點七、四、2，最小節點在中間，左旋平衡樹結構。
• δ，左旋完成後，紅色連接線的七、四、2爲作傾順序節點，所以須要作右旋操做。
• ε，左旋、右旋，調整完成後，又知足了染色操做。到此恢復紅黑樹平衡。

注意，全部鏈接紅色節點的，都是是紅色線。以此與2-3樹作對應。

3. 刪除操做

根據2-3-4樹模型的紅黑樹，在刪除的時候基本是按照2-3方式進行刪除，只不過在這個過程當中須要染色和旋轉操做，以保持樹平衡。刪除過程主要能夠分爲如圖四種狀況，以下；

3.1 刪除子葉紅色節點

紅色子葉節點的刪除並不會破壞樹平衡，也不影響樹高，因此直接刪除便可，以下；

3.2 刪除左側節點

3.2.1 被刪節點兄弟爲黑色&含右子節點

3.2.2 被刪節點兄弟爲黑色&含左子節點

3.2.3 被刪節點兄弟爲黑色&含雙子節點(紅)

3.2.4 被刪節點兄弟爲黑色&不含子節點

3.2.5 被刪節點兄弟爲黑色&含雙黑節點(黑)

3.3. 刪除右側節點

3.3.1 被刪節點兄弟爲黑色&含左子節點

3.3.2 被刪節點兄弟爲黑色&含右子節點

3.3.3 被刪節點兄弟爲黑色&含雙子節點(紅)

3.2.4 被刪節點兄弟爲黑色&不含子節點

3.2.5 被刪節點兄弟爲黑色&含雙黑節點(黑)

5、總結

• 從2-3樹到解釋2-3-4樹概念推導出紅黑樹，從元素的在2-3樹中的插入刪除對照到紅黑樹中保持平衡操做，從原理解析到各項狀況實際操做等，以及把絕大部分成黑樹內容所有介紹完成。
• 紅黑樹的原理理解要比背概念更重要，這是一種數據結構的學習，更重要的是技術遷移學習，而不是爲了面試背幾道題。可能這個學習過程很是燒腦，但適合學習根本。

• 在編寫本篇文章時，參考了大量的資料進行校訂，包括優秀文章；

  • 紅黑樹可視化：https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/RedBlack.html
  • 左傾紅黑樹論文： Left-leaning Red-Black Trees

6、系列推薦

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