乾貨|MIT線性代數課程精細筆記[第一課]

1

知識概要

本節開始，咱們一塊兒來學習線性代數的有關知識，首節咱們從解方程談起，學習線性代數的應用之一就是求解複雜方程問題，本節核心之一即爲從行圖像與列圖像的角度解方程。

2

方程組的幾何解釋基礎

2.1 二維的行圖像

咱們首先經過一個例子來從行圖像角度求解方程：

咱們首先按行將方程寫爲矩陣形式：

係數矩陣(A)：將方程係數按行提取出來，構成一個矩陣。
未知向量(x)：將方程未知數提取出來，按列構成一個向量。
向量(b)：將等號右側結果按列提取，構成一個向量。

接下來咱們經過行圖像來求解這個方程：
所謂行圖像，就是在係數矩陣上，一次取一行構成方程，在座標系上做圖。和咱們在初等數學中學習的做圖求解方程的過程無異。

2.2 二維的列圖像

接下來咱們使用列圖像求解此方程：

即尋找合適的 x，y 使得 x 倍的(2,-1) + y 倍的(-1,2)獲得最終的向量(0,3)。很明顯能看出來，1 倍(2,-1) + 2 倍(-1,2)即知足條件。

反映在圖像上，明顯結果正確。

3

方程組的幾何解釋推廣

3.1 高維行圖像


若是繪製行圖像，很明顯這是一個三個平面相交獲得一點，咱們想直接看出這個點的性質可謂是難上加難。

比較靠譜的思路是先聯立其中兩個平面，使其相 交於一條直線，在研究這條直線與平面相交於哪一個點，最後獲得點座標即爲方程 的解。

這個求解過程對於三維來講或許還算合理，那四維呢？五維甚至更高維數呢？直觀上很難直接繪製更高維數的圖像，這種行圖像受到的限制也愈來愈多。

3.2 高維列圖像

左側是線性組合，右側是合適的線性組合組成的結果，這樣一來思路就清晰多了，「尋找線性組合」成爲了解題關鍵。

很明顯這道題是一個特例，咱們只須要取 x = 0，y = 0，z = 1。就獲得告終果，這在行圖像之中並不明顯。

固然，之因此咱們更推薦使用列圖像求解方程， 是由於這是一種更系統的求解方法，即尋找線性組合，而不用繪製每一個行方程的圖像以後尋找那個很難看出來的點。

另一個優點在於，若是咱們改變最後的結果 b，例如本題中，

那麼咱們 2 −1 1 0 −3 4 −3 就從新尋找一個線性組合就夠了，可是若是咱們使用的是行圖像呢？那意味着我 們要徹底重畫三個平面圖像，就簡便性來說，兩種方法高下立判。

另外，還要注意的一點是對任意的 b 是否是都能求解 Ax = b 這個矩陣方程呢？ 也就是對 3*3 的係數矩陣 A，其列的線性組合是否是均可以覆蓋整個三維空間呢？

對於咱們舉的這個例子來講，必定能夠，還有咱們上面 2*2 的那個例子，也能夠 覆蓋整個平面，可是有一些矩陣就是不行的。

好比三個列向量自己就構成了一個 平面，那麼這樣的三個向量組合成的向量只能活動在這個平面上，確定沒法覆蓋 2 −1 1 一個三維空間，

這三個向量就構成了一個平面。

3.3 矩陣乘法

4

學習感悟

這部份內容是對線性代數概念的初涉，從解方程談起，引進列空間的概念，能夠發現從列空間角度將求解方程變化爲求列向量的線性組合，這個方式更加科學。 介紹了矩陣乘法，這部份內容重在理解。

但願對你們有幫助~

版權全部、未經贊成，禁止轉載！！！

推薦閱讀：
精選乾貨|近半年乾貨目錄彙總----全是通俗易懂的硬貨！歡迎閱讀！
乾貨|臺灣大學林軒田機器學習基石課程學習筆記3 -- Types of Learning
乾貨|臺灣大學林軒田機器學習基石課程學習筆記2 -- Learning to Answer Yes/No
乾貨|臺大林軒田機器學習基石筆記1 -- The Learning Problem

歡迎關注公衆號學習交流~