算法與數據結構：當代程序員必備技能（算法）丨遞歸詳解

​前言

遞歸是一種很是重要的算法思想，不管你是前端開發，仍是後端開發，都須要掌握它。在平常工做中，統計文件夾大小，解析xml文件等等，都須要用到遞歸算法。它太基礎過重要了，這也是爲何面試的時候，面試官常常讓咱們手寫遞歸算法。本文呢，將跟你們一塊兒學習遞歸算法~

 

什麼是遞歸？

遞歸，在計算機科學中是指一種經過重複將問題分解爲同類的子問題而解決問題的方法。簡單來講，遞歸表現爲函數調用函數自己。在知乎看到一個比喻遞歸的例子，我的以爲很是形象，你們看一下：

❝

遞歸最恰當的比喻，就是查詞典。咱們使用的詞典，自己就是遞歸，爲了解釋一個詞，須要使用更多的詞。當你查一個詞，發現這個詞的解釋中某個詞仍然不懂，因而你開始查這第二個詞，惋惜，第二個詞裏仍然有不懂的詞，因而查第三個詞，這樣查下去，直到有一個詞的解釋是你徹底能看懂的，那麼遞歸走到了盡頭，而後你開始後退，逐個明白以前查過的每個詞，最終，你明白了最開始那個詞的意思。

❞

來試試水，看一個遞歸的代碼例子吧，以下：

 

遞歸的特色

實際上，遞歸有兩個顯著的特徵,終止條件和自身調用:

自身調用：原問題能夠分解爲子問題，子問題和原問題的求解方法是一致的，即都是調用自身的同一個函數。

終止條件：遞歸必須有一個終止的條件，即不能無限循環地調用自己。

結合以上demo代碼例子，看下遞歸的特色：

 

遞歸與棧的關係

其實，遞歸的過程，能夠理解爲出入棧的過程的，這個比喻呢，只是爲了方便讀者朋友更好理解遞歸哈。以上代碼例子計算sum（n=3）的出入棧圖以下：

 

爲了更容易理解一些，咱們來看一下 函數sum（n=5）的遞歸執行過程，以下：

 

計算sum（5）時，先sum（5）入棧，而後原問題sum（5）拆分爲子問題sum（4），再入棧，直到終止條件sum（n=1）=1，就開始出棧。

sum（1）出棧後，sum（2）開始出棧，接着sum（3）。

最後呢,sum（1）就是後進先出，sum（5）是先進後出，所以遞歸過程能夠理解爲棧出入過程啦~

遞歸的經典應用場景

哪些問題咱們能夠考慮使用遞歸來解決呢？即遞歸的應用場景通常有哪些呢？

階乘問題

二叉樹深度

漢諾塔問題

斐波那契數列

快速排序、歸併排序（分治算法也使用遞歸實現）

遍歷文件，解析xml文件

 

遞歸解題思路

解決遞歸問題通常就三步曲，分別是：

第一步，定義函數功能

第二步，尋找遞歸終止條件

第二步，遞推函數的等價關係式

這個遞歸解題三板斧理解起來有點抽象，咱們拿階乘遞歸例子來喵喵吧~

1.定義函數功能

定義函數功能，就是說，你這個函數是幹嗎的，作什麼事情，換句話說，你要知道遞歸原問題是什麼呀？好比你須要解決階乘問題，定義的函數功能就是n的階乘，以下：

 

2.尋找遞歸終止條件

遞歸的一個典型特徵就是必須有一個終止的條件，即不能無限循環地調用自己。因此，用遞歸思路去解決問題的時候，就須要尋找遞歸終止條件是什麼。好比階乘問題，當n=1的時候，不用再往下遞歸了，能夠跳出循環啦，n=1就能夠做爲遞歸的終止條件，以下：

 

3.遞推函數的等價關係式

遞歸的 「本義」 ，就是原問題能夠拆爲同類且更容易解決的子問題，即 「原問題和子問題均可以用同一個函數關係表示。遞推函數的等價關係式，這個步驟就等價於尋找原問題與子問題的關係，如何用一個公式把這個函數表達清楚」 。階乘的公式就能夠表示爲 f(n) = n * f(n-1), 所以，階乘的遞歸程序代碼就能夠寫成這樣，以下：

 

「注意啦」 ，不是全部遞推函數的等價關係都像階乘這麼簡單，一會兒就能推導出來。須要咱們多接觸，多積累，多思考，多練習遞歸題目滴~

leetcode案例分析

來分析一道leetcode遞歸的經典題目吧~

❝

原題連接在這裏哈：https://leetcode-cn.com/problems/invert-binary-tree/

❞

「題目：」  翻轉一棵二叉樹。

輸入：

 

輸出：

 

照以上遞歸解題的三板斧來：

「1. 定義函數功能」

函數功能（即這個遞歸原問題是），給出一顆樹，而後翻轉它，因此，函數能夠定義爲：

 

「2.尋找遞歸終止條件」

這棵樹何時不用翻轉呢？固然是當前節點爲null或者當前節點爲葉子節點的時候啦。所以，加上終止條件就是：

 

「3. 遞推函數的等價關係式」

原問題之你要翻轉一顆樹，是否是能夠拆分爲子問題，分別翻轉它的左子樹和右子樹？子問題之翻轉它的左子樹，是否是又能夠拆分爲，翻轉它左子樹的左子樹以及它左子樹的右子樹？而後一直翻轉到葉子節點爲止。嗯，看圖理解一下咯~

 

首先，你要翻轉根節點爲4的樹，就須要 「翻轉它的左子樹（根節點爲2）和右子樹(根節點爲7）」 。這就是遞歸的 「遞」 的過程啦

 

而後呢，根節點爲2的樹，不是葉子節點，你須要繼續 「翻轉它的左子樹（根節點爲1）和右子樹（根節點爲3）」 。由於節點1和3都是 「葉子節點」 了，因此就返回啦。這也是遞歸的「遞」 的過程~

 

同理，根節點爲7的樹，也不是葉子節點，你須要翻轉 「它的左子樹（根節點爲6）和右子樹（根節點爲9）」 。由於節點6和9都是葉子節點了，因此也返回啦。

 

左子樹（根節點爲2）和右子樹(根節點爲7）都被翻轉完後，這幾個步驟就 「歸來」 ，即遞歸的歸過程，翻轉樹的任務就完成了~

 

顯然， 「遞推關係式」 就是：invertTree（root）= invertTree（root.left） + invertTree（root.right）;

因而，很容易能夠得出如下代碼：

 

這裏代碼有個地方須要注意，翻轉完一棵樹的左右子樹，還要交換它左右子樹的引用位置。

root.left=right; 

root.right=left;

所以，leetcode這個遞歸經典題目的 「終極解決代碼」 以下：

 

拿終極解決代碼去leetcode提交一下，經過啦~

 

遞歸存在的問題

遞歸調用層級太多，致使棧溢出問題

遞歸重複計算，致使效率低下

棧溢出問題

每一次函數調用在內存棧中分配空間，而每一個進程的棧容量是有限的。

當遞歸調用的層級太多時，就會超出棧的容量，從而致使調用棧溢出。

其實，咱們在前面小節也討論了，遞歸過程相似於出棧入棧，若是遞歸次數過多，棧的深度就須要越深，最後棧容量真的不夠咯

「代碼例子以下：」

 

怎麼解決這個棧溢出問題？首先須要 「優化一下你的遞歸」 ，真的須要遞歸調用這麼屢次嘛？若是真的須要，先稍微 「調大JVM的棧空間內存」 ，若是仍是不行，那就須要棄用遞歸， 「優化爲其餘方案」 咯~

重複計算，致使程序效率低下

咱們再來看一道經典的青蛙跳階問題：一隻青蛙一次能夠跳上1級臺階，也能夠跳上2級臺階。求該青蛙跳上一個 n 級的臺階總共有多少種跳法。

絕大多數讀者朋友，很容易就想到如下遞歸代碼去解決：

 

可是呢，去leetcode提交一下，就有問題啦，超出時間限制了！

爲何超時了呢？遞歸耗時在哪裏呢？先畫出 「遞歸樹」 看看：

 

要計算原問題 f(10)，就須要先計算出子問題 f(9) 和 f(8)

而後要計算 f(9)，又要先算出子問題 f(8) 和 f(7)，以此類推。

一直到 f(2) 和 f(1），遞歸樹才終止。

咱們先來看看這個遞歸的時間複雜度吧， 「遞歸時間複雜度 = 解決一個子問題時間*子問題個數」

一個子問題時間 = f（n-1）+f（n-2），也就是一個加法的操做，因此複雜度是  「O(1)」 ；

問題個數 = 遞歸樹節點的總數，遞歸樹的總結點 = 2^n-1，因此是複雜度 「O(2^n)」 。

所以，青蛙跳階，遞歸解法的時間複雜度 = O(1) * O(2^n) = O(2^n)，就是指數級別的，爆炸增加的， 「若是n比較大的話，超時很正常的了」 。

回過頭來，你仔細觀察這顆遞歸樹，你會發現存在 「大量重複計算」 ，好比f（8）被計算了兩次，f（7）被重複計算了3次...因此這個遞歸算法低效的緣由，就是存在大量的重複計算！

「那麼，怎麼解決這個問題呢？」

既然存在大量重複計算，那麼咱們能夠先把計算好的答案存下來，即造一個備忘錄，等到下次須要的話，先去 「備忘錄」 查一下，若是有，就直接取就行了，備忘錄沒有才再計算，那就能夠省去從新重複計算的耗時啦！這就是 「帶備忘錄的解法」

咱們來看一下 「帶備忘錄的遞歸解法」 吧~

通常使用一個數組或者一個哈希map充當這個 「備忘錄」 。

假設f(10)求解加上 「備忘錄」 ，咱們再來畫一下遞歸樹：

「第一步」 ，f（10）= f(9) + f(8)，f(9) 和f（8）都須要計算出來，而後再加到備忘錄中，以下：

 

「第二步，」  f(9) = f（8）+ f（7），f（8）= f（7）+ f(6), 由於 f(8) 已經在備忘錄中啦，因此能夠省掉，f(7),f（6）都須要計算出來，加到備忘錄中~

 

「第三步，」  f(8) = f（7）+ f(6),發現f(8)，f(7),f（6）所有都在備忘錄上了，因此均可以剪掉。

 

因此呢，用了備忘錄遞歸算法，遞歸樹變成光禿禿的樹幹咯，以下：

 

帶「備忘錄」的遞歸算法，子問題個數=樹節點數=n，解決一個子問題仍是O(1),因此 「帶「備忘錄」的遞歸算法的時間複雜度是O(n)」 。接下來呢，咱們用帶「備忘錄」的遞歸算法去擼代碼，解決這個青蛙跳階問題的超時問題咯~，代碼以下：

 

寫在最後

既然大家能看到這裏說明這篇文章對大家的幫助仍是有的，筆者可不能夠給大家索要一個小小的贊呢。固然啦，筆者實際上是一位C/C++的程序員哦~天天分享的更多的固然是C語言C++的知識，不過今天看到這一篇Java程序員分享的算法知識仍是很不錯的，因此分享給你們。

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