Gamma函數

本文只討論實數域上的Gamma函數 $\Gamma(x),x\in\mathbb{R}.$

Gamma函數是階乘 $n!$ 在實數域上的擴展，表達式爲
$$\Gamma(x)=\int^{\infty}_0t^{x-1}e^{-t}dt,$$
知足」階乘「運算
$$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x).$$

下面列舉Gamma函數的一些性質及證實。

性質一：$\Gamma(1)=1.$

證實：
$$\Gamma(1)=\int^{\infty}_0e^{-t}dt=-e^{-t}|^\infty_0=0-(-1)=1.$$

性質二：$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x).$

證實：根據分部積分法
$$\int u(x)dv(x)=u(x)v(x)-\int v(x)du(x),$$
能夠獲得
$$\Gamma(x+1)=\int^\infty_0t^xe^{-t}dt=-\int^\infty_0t^xde^{-t}$$
$$=-t^xe^{-t}|^\infty_0+\int^\infty_0e^{-t}dt^x=\int^\infty_0e^{-t}dt^x$$
$$=\int^\infty_0xt^{x-1}e^{-t}df=x\int^{\infty}_0t^{x-1}e^{-t}dt=x\Gamma(x).$$

性質三：$\Gamma(n)=(n-1)!,n\in\mathbb{Z}^+.$

證實：$$\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)=\Pi^{n-1}_1\Gamma(1)=(n-1)!.$$