最大團問題

時間  2019-12-08
標籤 最大 問題 简体版
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1、定義

 

一個無向圖 G=(V，E)，V 是點集，E 是邊集。取 V 的一個子集 U，若對於 U 中任意兩個點 u 和 v，有邊 (u,v)∈E，那麼稱 U 是 G 的一個徹底子圖。 U 是一個團當且僅當 U 不被包含在一個更大的徹底子圖中。php

G的最大團指的是定點數最多的一個團。ios

 

2、經常使用作法

 

一、順序貪婪啓發式搜索算法算法

二、局部搜索啓發式算法網絡

三、智能搜索啓發式算法ide

四、遺傳算法ui

五、模擬退火算法spa

六、禁忌算法3d

七、神經網絡算法code

八、改進蟻羣算法-AntMCPhtm

 

看了所列出的算法，是否是有一種頭皮發麻的感受。反正我是這樣的感受...由於上面的東西我都不會...

若是你想看上面的東西，百度百科中有一些簡略的介紹，我太弱，沒看懂。

百度百科傳送門：最大團問題

 

下面說說經常使用的一種搜索算法

固然，這種算法很不高效，因此當圖中有 100 個點以上時，請慎用

 

先看看一個顯而易見的 DFS ：

　　　　初始化：

　　　　　　從一個點 u 開始，把這個點加入到一個集合中，設爲 U。遍歷一遍全部和他相連的點，把他們放入另外一個集合 S1 中，接下來進行第一遍 DFS

　　　　第一遍 DFS ：

　　　　　　從 S1 中選擇一個點 u1，這個點確定和集合 U 中的任何一個點相連。把集合 S1 中 u1 能訪問到的點加入到集合 S2 中，並把 u1 加入到集合 U 中，進行第二遍 DFS

　　　　第二遍 DFS ：

　　　　　　從 S2 中選擇一個點 u2，這個點確定和集合 U 中的任何一個點相連。把集合 S2 中 u2 能訪問到的點加入到集合 S3 中，並把 u2 加入到集合 U 中，進行第三遍 DFS

　　　　第三遍 DFS ：

　　　　　　從 S3 中選擇一個點 u3，這個點確定和集合 U 中的任何一個點相連。把集合 S3 中 u3 能訪問到的點加入到集合 S4 中，並把 u3 加入到集合 U 中，進行第四遍 DFS

　　　　......

　　　　最底層的 DFS ：

　　　　　　當某個 S 集合爲空集的時候，DFS 結束，這時候咱們就找到了一個徹底子圖，用這個徹底子圖更新咱們的最大團。退出當前的 DFS，返回上層 DFS，接着找下一個徹底子圖，直到找完全部的徹底子圖

 

按照上面介紹的 DFS 方法，確定可以獲得一個最大團，由於該 DFS 把全部的徹底子圖都枚舉了一遍。可是這樣作的時間複雜度是否是過高了？

因而產生了下面的 DFS 過程，大體上和上面的 DFS 同樣，只不過有一些地方不太同樣了

 

首先，咱們先獲得後幾個點組成的最大團究竟是多大，（最開始的時候確定是最後一個點單獨構成一個最大團，點數爲1）而後咱們再 DFS：

　　　　初始化：

　　　　　　從一個點 u 開始，把這個點加入集合 U 中。將編號比它大的且和它相連的點加入集合 S1 中，爲了方便，將集合 S1 中的點有序，讓他們從小到大排列，進行第一遍 DFS

　　　　第一遍 DFS ：

　　　　　　從 S1 中選擇一個點 u1，遍歷 S1 中，全部編號比 u1 大且和 u1 相連的點，其實也就是排在 u1 後面，而且和 u1 相連的點，將它們加入集合 S2 中。同理，讓 S2 中的點也按照編號也從小到大排列。將 u1 加入集合 U 中，進行第二遍 DFS

　　　　第二遍 DFS ：

　　　　　　從 S2 中選擇一個點 u2，遍歷 S2 中，全部排在 u2 後面且和 u2 相連的點，並把它們加入集合 S3 中，讓 S3 中的點按照編號從小到大排列，將 u2 加入集合 U 中進行第三遍 DFS

　　　　第三遍 DFS ：

　　　　　　從 S3 中選擇一個點 u3，遍歷 S3 中，全部排在 u3 後面且和 u3 相連的點，並把它們加入集合 S4 中，讓 S4 中的點按照編號從小到大排列，將 u3 加入集合 U 中進行第四遍 DFS

　　　　......

　　　　最底層的 DFS ：

　　　　　　當某個 S 集合爲空時，DFS 過程結束，獲得一個只用後面幾個點構成的徹底子圖，並用它去更新只用後面幾個點構成的最大團。退出當前 DFS，返回上層 DFS，接着找下一個徹底子圖，直到找完全部的徹底子圖

 

上面的 DFS 過程，若是不加任何剪枝的話，其實和第一個 DFS 是差很少的，可是既然咱們都這樣 DFS 了，能不能想想怎麼剪枝呢？

假設咱們當前處於第 i 層 DFS，如今須要從 Si 中選擇一個 ui，把在 Si 集合中排在 ui 後面的和 ui 相連的點加入集合 S(i+1) 中，把 ui 加到集合 U 中

可能你們稍做思考以後就想到了一個剪枝：

 

剪枝1：若是 U 集合中的點的數量+1（選擇 ui 加入 U 集合中）+Si 中全部 ui 後面的點的數量 ≤ 當前最優值，不用再 DFS 了

 

還有什麼剪枝呢？

注意到咱們是從後往前選擇 u 的，也就是說，咱們在 DFS 初始化的時候，假設選擇的是編號爲 x 的點，那麼咱們確定已經知道了用 [x+1, n] ，[x+2, n]，[x+3, n] ...[n,n] 這些區間中的點能構成的最大團的數量是多大

 

剪枝2：若是 U 集合中的點的數量+1（理由同上）+[ui, n]這個區間中能構成的最大團的頂點數量 ≤ 當前最優值，不用再 DFS了

 

有這兩個剪枝就夠了嗎？

不，咱們還能想出一個剪枝來：

 

剪枝3：若是 DFS 到最底層，咱們可以更新答案，不用再 DFS 了，結束整個 DFS 過程，也再也不返回上一層繼續 DFS 了

 

爲何？由於咱們若是再繼續日後 DFS 的話，點的編號變大了，可用的點變少了（可用的點在一開始 DFS 初始化的時候就肯定了，隨着不斷的加深 DFS 的層數，可用的點在不斷的減小）

 

有了上面三個剪枝，100 個點之內的圖，咱們也能很是快的出解了

 

可能有人會問，若是想知道最大團包含哪些節點該怎麼辦？

這還不簡單？每次 DFS 都會加一個點進入 U 集合中，DFS 到最底層，更新最大團數量的時候，U 集合中的點必定是一個徹底子圖中的點集，用 U 集合更新最大團的點集就好了

 

3、經常使用結論

 

一、最大團點的數量=補圖中最大獨立集點的數量

二、二分圖中，最大獨立集點的數量+最小覆蓋點的數量=整個圖點的數量

三、二分圖中，最小覆蓋點的數量=最大匹配的數量

四、圖的染色問題中，最少須要的顏色的數量=最大團點的數量

 

4、刷題練手

 

一、先來一道裸題：ZOJ 1492 Maximum Clique

給了一個最多包含 50 個點的無向圖，讓求這個圖中最大團所包含的的點的數量

直接按照上面所講的 DFS 過程作就行

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 struct MAX_CLIQUE {
 8     static const int N=60;
 9 
10     bool G[N][N];
11     int n, Max[N], Alt[N][N], ans;
12 
13     bool DFS(int cur, int tot) {
14         if(cur==0) {
15             if(tot>ans) {
16                 ans=tot;
17                 return 1;
18             }
19             return 0;
20         }
21         for(int i=0; i<cur; i++) {
22             if(cur-i+tot<=ans) return 0;
23             int u=Alt[tot][i];
24             if(Max[u]+tot<=ans) return 0;
25             int nxt=0;
26             for(int j=i+1; j<cur; j++)
27                 if(G[u][Alt[tot][j]]) Alt[tot+1][nxt++]=Alt[tot][j];
28             if(DFS(nxt, tot+1)) return 1;
29         }
30         return 0;
31     }
32 
33     int MaxClique() {
34         ans=0, memset(Max, 0, sizeof Max);
35         for(int i=n-1; i>=0; i--) {
36             int cur=0;
37             for(int j=i+1; j<n; j++) if(G[i][j]) Alt[1][cur++]=j;
38             DFS(cur, 1);
39             Max[i]=ans;
40         }
41         return ans;
42     }
43 };
44 
45 MAX_CLIQUE fuck;
46 
47 int main() {
48     while(scanf("%d", &fuck.n), fuck.n) {
49         for(int i=0; i<fuck.n; i++)
50             for(int j=0; j<fuck.n; j++)
51                 scanf("%d", &fuck.G[i][j]);
52         printf("%d\n", fuck.MaxClique());
53     }
54     return 0;
55 }
ZOJ 1492

 

二、來一個稍微麻煩點的題：HDU 3585 maximum shortest distance

給了平面上 n 個點，要求選出 k 個點來，使得這 k 個點中，距離最近的兩個點的距離最大。n 最大爲50

二分答案後，若是兩個點之間的距離大於當前的判斷值，加邊，在用最大團跑一下，根據獲得最大團點的數量和 k 的大小關係，調整二分的上下界

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 #include <cmath>
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 const int N=60;
 9 
10 struct MAX_CLIQUE {
11     bool G[N][N];
12     int n, Max[N], Alt[N][N], ans;
13 
14     bool DFS(int cur, int tot) {
15         if(cur==0) {
16             if(tot>ans) {
17                 ans=tot;
18                 return 1;
19             }
20             return 0;
21         }
22         for(int i=0; i<cur; i++) {
23             if(cur-i+tot<=ans) return 0;
24             int u=Alt[tot][i];
25             if(Max[u]+tot<=ans) return 0;
26             int nxt=0;
27             for(int j=i+1; j<cur; j++)
28                 if(G[u][Alt[tot][j]]) Alt[tot+1][nxt++]=Alt[tot][j];
29             if(DFS(nxt, tot+1)) return 1;
30         }
31         return 0;
32     }
33 
34     int MaxClique() {
35         ans=0, memset(Max, 0, sizeof Max);
36         for(int i=n-1; i>=0; i--) {
37             int cur=0;
38             for(int j=i+1; j<n; j++) if(G[i][j]) Alt[1][cur++]=j;
39             DFS(cur, 1);
40             Max[i]=ans;
41         }
42         return ans;
43     }
44 };
45 
46 struct Point {
47     double x, y;
48 
49     double dis(Point A) {
50         return sqrt((x-A.x)*(x-A.x)+(y-A.y)*(y-A.y));
51     }
52 } A[N];
53 int n, m;
54 
55 MAX_CLIQUE fuck;
56 
57 void build(double R) {
58     fuck.n=n;
59     for(int i=0; i<n; i++)
60         for(int j=0; j<n; j++) {
61             if(A[i].dis(A[j])>=R) fuck.G[i][j]=1;
62             else fuck.G[i][j]=0;
63         }
64 }
65 
66 int main() {
67     while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF) {
68         for(int i=0; i<n; i++) {
69             scanf("%lf%lf", &A[i].x, &A[i].y);
70         }
71         double L=0, R=20000.0;
72         for(int T=0; T<40; T++) {
73             double dis=(L+R)/2.0;
74             build(dis);
75             if(fuck.MaxClique()>=m) L=dis;
76             else R=dis;
77         }
78         printf("%.2lf\n", L);
79     }
80     return 0;
81 }
HDU 3585

 

三、來一個通常無向圖最大獨立集的題目：POJ 1419 Graph Coloring

給了一個有 n 個點 m 條邊的無向圖，要求用黑、白兩種色給圖中頂點塗色，相鄰的兩個頂點不能塗成黑色，求最多能有多少頂點塗成黑色。圖中最多有 100 個點

利用上面提到的結論：最大團點的數量=補圖中最大獨立集點的數量。創建補圖，求最大團便可

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 struct MAX_CLIQUE {
 8     static const int N=106;
 9 
10     bool G[N][N];
11     int Max[N], Alt[N][N], x[N], y[N];
12     int n, ans, *path, *res;
13 
14     bool DFS(int cur, int tot) {
15         if(cur==0) {
16             if(tot>ans) {
17                 swap(path, res), ans=tot;
18                 return 1;
19             }
20             return 0;
21         }
22         for(int i=0; i<cur; i++) {
23             if(cur-i+tot<=ans) return 0;
24             int u=Alt[tot][i];
25             if(Max[u]+tot<=ans) return 0;
26             int nxt=0;
27             for(int j=i+1; j<cur; j++)
28                 if(G[u][Alt[tot][j]]) Alt[tot+1][nxt++]=Alt[tot][j];
29             path[tot+1]=u;
30             if(DFS(nxt, tot+1)) return 1;
31         }
32         return 0;
33     }
34 
35     int MaxClique() {
36         ans=0, memset(Max, 0, sizeof Max);
37         path=x, res=y;
38         for(int i=n-1, cur; i>=0; i--) {
39             path[1]=i, cur=0;
40             for(int j=i+1; j<n; j++) if(G[i][j]) Alt[1][cur++]=j;
41             DFS(cur, 1);
42             Max[i]=ans;
43         }
44         return ans;
45     }
46 };
47 
48 MAX_CLIQUE fuck;
49 
50 int main() {
51     int T, m;
52     scanf("%d", &T);
53     for(int ca=1; ca<=T; ca++) {
54         scanf("%d%d", &fuck.n, &m);
55         memset(fuck.G, true, sizeof fuck.G);
56         for(int i=0, a, b; i<m; i++) {
57             scanf("%d%d", &a, &b);
58             fuck.G[a-1][b-1]=fuck.G[b-1][a-1]=0;
59         }
60         int ans=fuck.MaxClique();
61         printf("%d\n", ans);
62         for(int i=1; i<=ans; i++) {
63             printf("%d", fuck.res[i]+1);
64             if(i==ans) printf("\n"); else printf(" ");
65         }
66     }
67     return 0;
68 }
POJ 1419

 

四、來一個染色問題：POJ 1129 Channel Allocation

最多 26 廣播電臺...我仍是講抽象以後的題意吧：最多26個點的無向圖，要求相鄰的節點不能染成同一個顏色，問最少須要多少顏色染完全部的頂點

利用上面提到的結論：圖的染色問題中，最少須要的顏色的數量=最大團點的數量，建圖，跑最大團便可，另外，這題還須要構造解

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 struct MAX_CLIQUE {
 8     static const int N=27;
 9 
10     bool G[N][N];
11     int n, Max[N], Alt[N][N], ans;
12 
13     bool DFS(int cur, int tot) {
14         if(cur==0) {
15             if(tot>ans) {
16                 ans=tot;
17                 return 1;
18             }
19             return 0;
20         }
21         for(int i=0; i<cur; i++) {
22             if(cur-i+tot<=ans) return 0;
23             int u=Alt[tot][i];
24             if(Max[u]+tot<=ans) return 0;
25             int nxt=0;
26             for(int j=i+1; j<cur; j++)
27                 if(G[u][Alt[tot][j]]) Alt[tot+1][nxt++]=Alt[tot][j];
28             if(DFS(nxt, tot+1)) return 1;
29         }
30         return 0;
31     }
32 
33     int MaxClique() {
34         ans=0, memset(Max, 0, sizeof Max);
35         for(int i=n-1; i>=0; i--) {
36             int cur=0;
37             for(int j=i+1; j<n; j++) if(G[i][j]) Alt[1][cur++]=j;
38             DFS(cur, 1);
39             Max[i]=ans;
40         }
41         return ans;
42     }
43 };
44 
45 MAX_CLIQUE fuck;
46 char buff[30];
47 
48 int main() {
49     while(scanf("%d", &fuck.n), fuck.n) {
50         memset(fuck.G, 0, sizeof fuck.G);
51         for(int i=0; i<fuck.n; i++) {
52             scanf("%s", buff);
53             for(int j=2; buff[j]; j++) {
54                 int u=buff[j]-'A';
55                 fuck.G[i][u]=fuck.G[u][i]=1;
56             }
57         }
58         int ans=fuck.MaxClique();
59         if(ans==1) printf("1 channel needed.\n");
60         else printf("%d channels needed. \n", ans);
61     }
62     return 0;
63 }
POJ 1129

 

先來這麼4道題吧，暫時就碰見了這麼多，和二分圖有關的就懶得貼上來了

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