最大最小公倍數

問題描述

已知一個正整數N，問從1~N中任選出三個數，他們的最小公倍數最大能夠爲多少。

輸入格式

輸入一個正整數N。

輸出格式

輸出一個整數，表示你找到的最小公倍數。

樣例輸入

9

樣例輸出

504

數據規模與約定

1 <= N <= 106。 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
long long n, l;
while(scanf("%d", &n)!=EOF){
if(n%2!=0)//n爲奇數 

{ 
l = n*(n-1)*(n-2);
}
else if(n%3!=0)//n不能夠被3整除

{ 
l = n*(n-1)*(n-3);
}
else{
l = (n-1)*(n-2)*(n-3);
}
printf("%lld\n", l);
}
return 0;
}

思路

一看給的數據範圍那麼大，時間還1s，暴力是絕對超時的，這時候就要想，確定是有數學規律在的。要清楚下面兩個定理：

定理1：大於1的兩個相鄰的天然數一定互質 
定理2：兩個數的最小公倍數在最大的狀況就是當兩個數互質的時候，他們的最小公倍數就是這兩個數的乘積

這時候就行了，咱們須要找三個互質的數，讓他們三個乘積最大就OK啦，確定是從n往下乘了，但這時候三個連續的數，有兩種狀況使其互質

1. 偶 X 奇 X 偶 
2. 奇 X 偶 X 奇

這時候就考慮n的奇偶性了：

1. n爲奇數 
此時，n*(n-1)*(n-2)中，n，n-2爲奇數，n-1爲偶數，即確定不存在公因數2，由於這三個連續的數變化範圍不超過3，因此就算有一個數是3的倍數，也不會存在第二個數是3的倍數，即這三個數字都是互質的。

2. n爲偶數 
此時，n*(n-1)*(n-2)中，有兩個偶數，即存在公因數2，也就是說最小公倍數要除2了，就不是最大了的。因此不能存在 偶 X 奇 X 偶 這種狀況，就讓(n-2)變爲(n-3)，大的數儘可能不變嘛，這時候呢，又恢復到了 奇 X 偶 X 奇 的狀況。

此時要考慮了，n和n-3之間，差了3，即若是n是3的倍數，n-3也必定是3的倍數，因此當n不是3的倍數的時候，n*(n-1)*(n-3)是ok的

當n是3的倍數的時候，(n-1)(n-2)(n-3)，又恢復了 奇 X 偶 X 奇 的狀況了，OK！