數據結構導論之第二章(線性表)

 1、線性表的基本概念

線性表是由n（n≥0）個數據元素（結點）a1，a2，a3，……an組成的有限序列；數據元素的個數n定義爲表的長度。當n=0時，稱爲空表。

將非空的線性表（n＞0）記做：L=（a1，a2，a3，……，an）

• a1：起始結點(沒有直接前驅)
• an：終端結點(沒有直接後繼)。
• a1稱爲a2的直接前驅
• a3稱爲a2的直接後繼

線性表的特色：

• 線性表中只有1個起始結點，1個終端結點，
• 起始結點沒有直接前驅，有1個直接後繼。
• 終端結點有1個直接前驅，沒有直接後繼。
• 除這2個結點外，每一個結點都有且只有1個直接前驅和1個直接後繼。

線性表的基本運算

• 1，初始化 Initiate(L) ：創建一個空表L=()，L不含數據元素。
• 2，求表長度 Length(L)：返回線性表L的長度。
• 3，取表元 Get(L,i)：返回線性表第i個數據元素，當i不知足1≤i≤Length(L)時，返回一特殊值。
• 4，定位 Locate(L,x)：查找線性表中數據元素值等於x的結點序號，如有多個數據元素值與x相等，運算結果爲這些結點中序號的最小值，若找不到該結點，則運算結果爲0。
• 5，插入 Insert(L,x,i):在線性表L的第i個數據元素以前插入一個值爲x的新數據元素，參數i的合法取值範圍是1≤i≤n+1。操做結束後線性表L由（a1,a2,…，ai-1,ai,ai+1,.…，an )變爲(a1,a2,…,ai-1,x,ai,ai+1 .…,an )表長度加1。
• 6，刪除 Delete(L,i):刪除線性表L的第i個數據元素ai ，i的有效取值範圍是1≤i≤n。刪除後線性表L由(a1,a2,…,ai-1,ai,ai+1,.…,an )變爲(a1,a2,…,ai-1,ai+1,.…,an )，表長度減1

2、線性表的順序存儲

線性表順序存儲的方法：將表中的結點依次存放在計算機內存中一組連續的存儲單元中。

• ◆ 數據元素在線性表中的鄰接關係決定其在存儲空間中的存儲位置。
• ◆ 即邏輯結構中相鄰的結點，其物理存儲位置也相鄰。
• ◆ 用順序存儲實現的線性表稱爲順序表。通常使用數組存儲

順序存儲結構的特色：

• 線性表的邏輯結構與存儲結構一致
• 能夠對數據元素實現隨機讀取
• 設線性表中全部結點的類型相同，則每一個結點所佔用存儲空間大小亦相同。
• 假設表中每一個結點佔用L個存儲單元，其中第一個單元的存儲地址則是該結點的存儲地址
• 並設表中開始結點a1 的存儲地址是d，那麼結點ai 的存儲地址LOC(ai)=d+(i-1)*L

一、線性表的基本運算在順序表上的實現

=======================插入========================

插入 Insert(L,x,i):在線性表L的第i個數據元素以前插入一個值爲x的新數據元素，參數i的合法取值範圍是1≤i≤n+1。操做結束後線性表L由（a1,a2,…，ai-1,ai,ai+1,.…，an )變爲(a1,a2,…,ai-1,x,ai,ai+1 .…,an )表長度加1。

注意：

• 當表空間已滿，不可再作插入操做。
• 當插入位置是非法位置，不可作正常的插入操做。

順序表插入操做過程

• ① 將表中位置爲n ，n-1，…，i上的結點，依次後移到位置n+1，n，…，i+1上，空出位置i。
• ② 在位置i上插入新結點x。（當插入位置i=n+1時，無須移動結點，直接將x插入表的末尾）
• ③ 該順序表長度加1。

結論：

• 假設線性表中含有n個數據元素，在進行插入操做時，有n+1個位置可插入;在位置i插入時，要移動n-i+1個數據。
• 假設線性表中含有n個數據元素，在進行插入操做時，有 個位置可插入，在每一個位置插入數據的機率是：在i位置插入時，要移動個數據假定在n+1個位置上插入元素的可能性均等，則平均移動元素的個數爲:平均時間複雜度O(n)

 ===================刪除========================

刪除 Delete(L,i):刪除線性表L的第i個數據元素ai ，i的有效取值範圍是1≤i≤n。刪除後線性表L由(a1,a2,…,ai-1,ai,ai+1,.…,an )變爲(a1,a2,…,ai-1,ai+1,.…,an )，表長度減1

注意：當要刪除元素的位置i不在表長範圍內（即i＜1或i＞L-＞length）時，爲非法位置，不能作正常的刪除操做

順序表刪除操做過程：

• 1，若i=n，則只要刪除終端結點，無須移動結點；
• 2，若1≤i≤n-1，則必須將表中位置i+1，i+2，…，n的結點，依次前移到位置i，i+1，…，n-1上，以填補刪除操做形成的空缺。
• 3，該表長度減1

刪除算法的分析

• 假設線性表中含有n個數據元素，在進行刪除操做時，有n個位置可刪除，在位置i刪除時，要移動n-i個數據。
• 在進行刪除操做時，若假定刪除每一個元素的可能性均等，則平均移動元素的個數爲：平均時間複雜度O(n)

 插入和刪除的結論：順序存儲結構表示的線性表，在作插入或刪除操做時，平均須要移動大約一半的數據元素。當線性表的數據元素量較大，而且常常要對其作插入或刪除操做時，這一點須要值得考慮。

===================定位=================

定位(查找):定位運算LocateSeqlist(L,X)的功能是求L中值等於X的結點序號的最小值，當不存在這種結點時結果爲0。

算法的過程：從第一個元素 a1 起依次和x比較，直到找到一個與x相等的數據元素，則返回它在順序表中的存儲下標或序號；或者查遍整個表都沒有找到與 x 相等的元素，返回0。

算法分析：

•  最好狀況下，第1個元素就是x值，此時查找比較次數爲1。
•  最壞狀況下，最後1個元素是x值，此時查找比較次數爲n。
•  故平均查找長度爲(n+1)/2。平均時間複雜度O(n)

3、線性表的連接存儲

鏈式存儲的結構：數據項 + 指針項

鏈表（Link List）：使用鏈式存儲的線性表

鏈表的具體存儲表示爲:用一組任意的存儲單元來存放; 鏈表中結點的邏輯次序和物理次序不必定相同，還必須存儲指示其後繼結點的地址信息。

 

全部結點經過指針連接而組成單鏈表

NULL稱爲空指針

Head稱爲 頭指針變量，存放鏈表中第一個結點地址；在單鏈表中，增長頭結點的目的是方便運算的實現

鏈表的表示：因爲咱們經常只注重結點間的邏輯順序，不關心每一個結 點的實際位置，能夠用箭頭來表示鏈域中的指針，單鏈表就 能夠表示爲下圖形式。

 單鏈表特色：

❖ 起始節點又稱爲首結點，無前驅，故設頭指針head 指向開始結點。

❖ 鏈表由頭指針惟一肯定，單鏈表能夠用頭指針的名字 來命名。頭指針名是head的鏈表可稱爲表head。

❖ 終端結點又稱尾結點，無後繼，故終端結點的指針域 爲空，即NULL

❖ 除頭結點以外的結點爲表結點

❖ 爲運算操做方便，頭結點中不存數據

單鏈表的基本運算

=====================初始化=====================

空表由一個頭指針和一個頭結點組成；在算法中，變量head是鏈表的頭指針，它指向新建立的結點，即頭結 點。一個空單鏈表僅有一個頭結點，它的指針域爲NULL。

 

 ====================求表長====================

在單鏈表存儲結構中，線性表的長度等於單鏈表所 含結點的個數（不含頭結點）

步驟：
1，令計數器j爲0
2，令p指向頭結點
3，當下一個結點不空時，j加1，p指向下一個結點
4，j的值即爲鏈表中結點個數，即表長度

=================讀表元素:查找第i個結點============
步驟：
一、令計數器j爲0
二、令p指向頭結點
三、當下一個結點不空時，而且j<i 時，j加1，p指向下一個結點
四、若是j等於i，則p所指結點爲要找的第i結點不然，鏈表中無第i結點

===============定位=================

定位運算是對給定表元素的值，找出這個元素的位置。對 於單鏈表，給定一個結點的值，找出這個結點是單鏈表的 第幾個結點。定位運算又稱爲按值查找。

具體步驟：
一、令p指向頭結點
二、令i=0
三、當下一個結點不空時，p指向下一個結點,同時i的值加1
四、直到p指向的結點的值爲x，返回i+1的值。
五、若是找不到結點值爲x的話，返回值爲0

 

 ===================插入====================

 

===========刪除===========

刪除運算是將表的第i個結點刪去。

（1）找到ai-1的存儲位置p

（2）令p-＞next指向ai的直接後繼結點

（3）釋放結點ai的空間，將其歸還給"存儲池" 。 

 free(p)是必不可少的，由於當一個結點從鏈表移出後，若是不釋放它的空間，它將變成一個無用的結點，它會一直佔用着系統內存空間，其餘程序將沒法使用這塊空間。

 4、單項循環鏈表

普通鏈表的終端結點的next值爲NULL；循環鏈表的終端結點的next指向頭結點，在循環鏈表中，從任一結點出發可以掃描整個鏈表。

 

 

如何找到循環鏈表的尾結點：在循環鏈表中附設一個 rear 指針指向尾結點，適用於常用頭尾結點的鏈表操做中

若p爲指向循環鏈表中某鏈結點的指針變量，判斷循環鏈表是否只有一個結點的標誌是：p->next=p
5、雙向循環鏈表

在鏈表中設置兩個指針域，一個指向後繼結點，一個指向前驅結點這樣的鏈表叫作雙向鏈表

 

 雙向循環鏈表適合應用在須要常常查找結點的前驅和後繼的場合。找前驅和後繼的複雜度均爲：O(1)

雙向鏈表中結點的刪除：設p指向待刪結點，刪除*p可經過下述語句完成：

• (1)p->prior->next=p->next; //p前驅結點的後鏈指向p的後繼結點
• (2)p->next->prior=p->prior; //p後繼結點的前鏈指向p的前驅結點
• (3)free(p); //釋放*p的空間；（1）、（2）這兩個語句的執行順序能夠顛倒。

雙向鏈表中結點的插入：在p所指結點的後面插入一個新結點*t，須要修改四個指針

• (1)t->prior=p;
• (2)t->next=p->next;
• (3)p->next->prior=t;
• (4)p->next=t;

6、順序實現與鏈式實現的比較

線性表與鏈表的優缺點：
(1)單鏈表的每一個結點包括數據域與指針域，指針域須要佔用額外空間。
(2)從總體考慮，順序表要預分配存儲空間，若是預先分配得過大，將形成浪費，若分配得太小，又將發生上溢；單鏈表不須要預先分配空間，只要內存空間沒有耗盡，單鏈表中的結點個數就沒有限制。

(3)、插入、刪除操做，順序表須要移動元素，而鏈表不須要移動元素

時間性能的比較

順序表

• 讀表元 O（1）
• 定位（找x） O（n）
• 插入O（n）
• 刪除O（n）

鏈表

• 讀表元O（n）
• 定位（找x）O（n）
• 插入O（n）
• 刪除O（n）