奇妙的算法【2】- 韓信點兵問題優化

 1，問題介紹

　　①淮安民間傳說着一則故事——「韓信點兵」，其次有成語「韓信點兵，多多益善」。

韓信帶1500名兵士打仗，戰死四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韓信很快說出人數：104。

　　②在一千多年前的《孫子算經》中，有這樣一道算術題：「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」按照今天的話來講：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求這個數。這樣的問題，也有人稱爲「韓信點兵」。它造成了一類問題，也就是初等數論中的解同餘式。

　　③問題：一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2，求符合條件的最小數。

2，結題思路

思路1：【暴力求解法-遍歷，效率低】

直接從0一直計算到很大的數值來進行判斷

    public static int dealSingle1(int index0,int index1,int index2){//暴力求解
        boolean a,b,c;
        for(int i=0;i<Integer.MAX_VALUE;i++){
            a=(i%3==index0);
            b=(i%5==index1);
            c=(i%7==index2);
            if(a&&b&&c){
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

 

思路2：【利用數學的知識進行運算，進一步優化，應該是速度最快的】

　　先列出除以3餘2的數：2，5，8，11，14，17，20，23，26……

　　再列出除以5餘3的數：3，8，13，18，23，28……

　　這兩列數中，首先出現的公共數是8。3與5的 最小公倍數是15。兩個條件合併成一個就是8+15×整數，列出這一串數是8，23，38，……，再列出除以7餘2的數2，9，16，23，30……就得出符合題目條件的最小數是23。

　　事實上，咱們已把題目中三個條件合併成一個：被105除餘23。

    public static int dealSingle2(int index0,int index1,int index2) {//2,數學方法求解
        long startTime =  System.currentTimeMillis();
        int num=0,num1=0;
        for(int i=0;i<Integer.MAX_VALUE;i++){
            num=5*i+index1;//修改優化，直接使用較大大數進行取值，進一步加快速度 if(num%3==index0){
                break;
            }
        }
        for(int i=0;i<Integer.MAX_VALUE/15;i++){
            num1=num+15*i;
            if(num1%7==index2){
                long endTime =  System.currentTimeMillis();
                System.out.println("方法2：數學優化，耗時："+(endTime-startTime));
                return num1;
            }
        }
        return -1;
    }

思路3：【由大數主導數值運算，速度也很快】

    public static int dealSingle3(int index0,int index1,int index2){//處理單個數據
        long startTime =  System.currentTimeMillis();
        int num=-1;
        boolean a,b;
        for(int i=0;i<Integer.MAX_VALUE/7;i++){
            num=i*7+index2;
            a=(num%3==index0);
            b=(num%5==index1);
            if(a&&b){
                long endTime =  System.currentTimeMillis();
                System.out.println("方法3：數學優化，耗時："+(endTime-startTime));
                return num;
            }
        }
        return num;
    }

 3，問題引伸

　　計算出韓信點兵的全部結果【3，5,7所有爲素數，那麼在0~（3*5*7-1）這個範圍內的全部數據都是其中的一種狀況】

    public static int[][][] dealAll(){//每次只計算一次，直到全部數據
        int[][][] arr=new int[3][5][7];
        for(int i=0;i<(3*5*7);i++){
            arr[i%3][i%5][i%7]=i;
        }
        return arr;
    }