#數論知識整理.

時間 2019-11-11

標籤數論知識整理简体版

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展轉相除法

$gcd(a, b) == gcd(b, a\%b)$
證實:
設: $d$爲$a$與$b$的一個公約數, 則有$d|b$ $d|a$ui

設: $a = k \times b + r$ 則有$r = a \% b$
$r = a - kb$ 同除以$d$可得
$r \over d$ $=$ $ a \over d$ $-$ $kb\over d$
又$ \because d|b , d|a$
$\therefore d | r$
即 $d | a\%b$, $d$爲$a\%b$的一個因數.
又 $\because d|b$
$\therefore d$ 爲$b$與$a\%b$的一個公約數,
若$d$最大，則$d$爲$b$與$a\%b$的最大公約數,
$\therefore gcd(a, b) = gcd(b, a \% b)$ 得證spa

裴蜀定理.

要使$ax + by = m$($a, b \in Z$) 有整數解的充要條件是 $m \% gcd(a, b) = 0$
證實：
設$d = gcd(a, b)$ 則 $d | a \ d | b$ .
又$\because x, y$ 爲整數 $\therefore d | ax + by$
$\because ax + by = m$ $\therefore d | m$
則 $m \% gcd(a, b) = 0$.code

歐拉定理:

當a 與 p互質的時候則有 $a^{\varphi(p)} \equiv 1 \ (mod \ p)$
通項公式及證實：
若$n = p ^ k ,p$爲質數,則$\varphi (p^k) = p ^k - p ^{k - 1}$
當一個數不包含質因子$p$時就能與$n$互質，
小於等於$n$的數中包含質因子$p$的只有$p^{k-1}$ 個，他們是:
$p, 2*p, 3* p, ...,p ^{k - 1} ∗p$，把他們去除便可.ast

由惟一分解定理可得: $n = p_1 ^{a_1} p_2 ^{a_2}p_3 ^{a_3}...p_k ^{a_k}$
則 $\varphi (n) = \varphi(p_1^{a_1})\varphi(p_2^{a_2})\varphi(p_3^{a_3})...\varphi(p_k^{a_k})$class

根據上述$\varphi (p^k) = p ^k - p ^{k - 1}$可得:
$ \varphi (p) = p^k(1 - $${1}\over {p^k}$)原理

則 $\varphi (n) = \varphi(p_1^{a_1})\varphi(p_2^{a_2})\varphi(p_3^{a_3})...\varphi(p_k^{a_k})$可化爲
$\ \ \ \ \varphi (n) = p_1 ^{a_1}(1 - \frac {1} {p_1}) p_2 ^{a_2}(1 - \frac {1} {p_2})p_3 ^{a_3}(1 - \frac {1} {p_3})...p_k ^{a_k}(1 - \frac {1} {p_k})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = n (1 - \frac {1} {p_1})(1 - \frac {1} {p_2})(1 - \frac {1} {p_3})...(1 - \frac {1} {p_k})$gc

約數個數定理:

$\displaystyle \prod^{k}_{i= 1} (a_i + 1)$
證實：
由惟一分解定理$n = p_1 ^{a_1} p_2 ^{a_2}p_3 ^{a_3}...p_k ^{a_k}$可得:
$n$的約數必定是 $p_1^{x} ... p_k^{z}$ $x \in [0, a_1] ... z \in [0, a_k]$
每個能夠取 $a_i +１$種可能.
根據乘法原理約數個數$= (a_1 + 1) \ast (a_2 + 1) \ast ...\ast (a_k + 1)$.
即: \[\displaystyle \prod^{k}_{i= 1} (a_i + 1)\]im