單變量微分、導數與鏈式法則

映射是一種對應關係。

函數是一種映射，將變量間的關係形式化爲數學描述。

令\(y = f(x)\)，即\(y\)是\(x\)的函數，能夠是\(y = 2x + 1\)，也能夠是\(y = sin(x)\)。\(x\)的變化將引發\(y\)的變化，\(x\)的變化量\(\triangle x\)致使\(y\)變化\(\triangle y\)，當變化量很小（趨近於0）時，爲瞬間變化量，記爲\(dx\)和\(dy\)，瞬間變化量之比爲瞬間變化率，即\(\frac{dy}{dx}\)。瞬間變化率\(\frac{dy}{dx}\)乘以\(x\)的瞬間變化量\(dx\)爲\(y\)的瞬間變化量\(dy\)。

導數（Derivative），是對瞬間變化率的衡量，即\(\frac{dy}{dx}\)，導數也是函數，衡量每一個\(x\)位置處的瞬間變化率。而微分（Differential，differentiation， differential calculus），指的是求導數——經過求瞬間變化量的關係來求導數。

當\(x\)爲單變量時，導數爲

\[f'(a) = \frac{dy}{dx} \rvert _{x=a} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\]

每一個位置處的導數以下

基本初等函數包括：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數、常數函數。

基本初等函數經過四則運算和複合能夠獲得複雜函數，其中減法與加法等價，除法與乘法等價：

1. 加法（減法）：\(f(x)+g(x)\)
2. 乘法（除法）：\(f(x)g(x)\)
3. 複合：\(f(g(x))\)

加法的求導能夠理解爲變化量（率）的疊加，即\(f' + g'\)；
乘法的求導能夠理解爲矩形面積的變化率，將\(f(x)\)和\(g(x)\)當作矩形的邊長，導數爲$\(\frac{(f + df)(g+dg)}{dx}\)，在\(dx\)趨近於0時，面積增量爲\(fdg+gdf\)（忽略了極小項），即導數爲\(f'g+fg'\)。以下

複合函數的求導能夠理解爲變化率的傳遞，\(y = f(u)\)，\(u=g(x)\)，\(x\)的變化引發\(u\)的變化，\(u\)的變化引發\(y\)的變化，即\(dy=\frac{dy}{du} du =\frac{dy}{du} \frac{du}{dx} dx\)，\(\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}\)，此爲鏈式法則，\(f'(x) = f'(g(x)) g'(x)\)。變化量的傳遞以下：

能夠令\(x\)變化一個極小量如\(\triangle x=0.000001\)，帶入函數求\(y\)的變化量\(\triangle y\)，用\(\frac{\triangle y}{\triangle x}\)來估計\(x\)位置的導數，但這無疑是費時費力的，常見函數的導數通常都存在解析形式，以下：

參考

• http://mathworld.wolfram.com/Differential.html
• Chain rule
• 3Bulu1Brown-直觀理解鏈式法則和乘積法則