Joyful HDU - 5245 機率問題

Sakura has a very magical tool to paint walls. One day, kAc asked Sakura to paint a wall that looks like an  M×NM×N matrix. The wall has M×NM×N squares in all. In the whole problem we denotes (x,y)(x,y) to be the square at the xx-th row, yy-th column. Once Sakura has determined two squares (x1,y1)(x1,y1) and (x2,y2)(x2,y2), she can use the magical tool to paint all the squares in the sub-matrix which has the given two squares as corners. 

However, Sakura is a very naughty girl, so she just randomly uses the tool for KKtimes. More specifically, each time for Sakura to use that tool, she just randomly picks two squares from all the M×NM×N squares, with equal probability. Now, kAc wants to know the expected number of squares that will be painted eventually.

InputThe first line contains an integer TT(T≤100T≤100), denoting the number of test cases. 

For each test case, there is only one line, with three integers M,NM,N and KK. 
It is guaranteed that 1≤M,N≤5001≤M,N≤500, 1≤K≤201≤K≤20. 
OutputFor each test case, output ''Case #t:'' to represent the tt-th case, and then output the expected number of squares that will be painted. Round to integers.Sample Input

2
3 3 1
4 4 2

Sample Output

Case #1: 4
Case #2: 8


        
 

Hint

The precise answer in the first test case is about 3.56790123.
        
 

題意：

給出一個M*N的矩陣，從其中任意的選兩個格子，將以兩個格子爲對角的矩形染色。這樣的操做重複k次，問會被塗色的格子數的指望值。

 

 

分析：

指望值說白了就是執行完上述操做後，計算最有可能塗了多少個格子。

 

看了網上的題解才明白，咱們只須要計算每個格子可能被選中的機率，

 

指望值E(x)=x1*p1 + x2*p2 + .....  + xn*pn;

 

在這裏咱們把每1個格子看作獨立事件，因此這裏的x1=x2=.....=xn=1，

 

因此對於本題，指望值 E(x)=p1 + p2 + .....  + pn;

 

 

解題：

如今問題就簡化成了求 每個格子 被選中的機率，再累加便可。

 

先看一張圖：

 

 

假設如今咱們求5這個點被塗色的機率，怎樣可讓他染上色呢？

 

選點（x1,y1）和 （x2,y2）構成的矩形包含5這個點便可。

 

在矩陣中選兩個點的總狀況數 是 m*n * m*n

 

那麼選點有9種狀況：

 

一、若(x1,y1)在區域1，則(x2,y2)能夠在區域五、六、八、9 

二、若(x1,y1)在區域3，則(x2,y2)能夠在區域四、五、七、8

三、若(x1,y1)在區域7，則(x2,y2)能夠在區域二、三、五、6

四、若(x1,y1)在區域9，則(x2,y2)能夠在區域一、二、四、5

 

五、若(x1,y1)在區域2，則(x2,y2)能夠在區域四、五、六、七、八、9

六、若(x1,y1)在區域4，則(x2,y2)能夠在區域二、三、五、六、八、9

七、若(x1,y1)在區域6，則(x2,y2)能夠在區域一、二、四、五、七、8

八、若(x1,y1)在區域8，則(x2,y2)能夠在區域一、二、三、四、五、6

 

九、若(x1,y1)在區域5，則(x2,y2)能夠在任意區域

 

 

當前這個點被染色的機率就是這9種狀況之機率和。
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參考博客：https://blog.csdn.net/winter2121/article/details/71082686

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#include <cmath>
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#include <algorithm>
#define ls (r<<1)
#define rs (r<<1|1)
#define debug(a) cout << #a << " " << a << endl
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 1e3+10;
const ll mod = 1e9+7;
const double pi = acos(-1.0);
const double eps = 1e-8;
int main() {
    ll T, k;
    double n, m;
    scanf("%lld",&T);
    for( ll cas = 1; cas <= T; cas ++ ) {
        scanf("%lf %lf %lld",&m,&n,&k);
        double sum = n*m*n*m, ans = 0; //sum：全部的狀況種數，ans：指望值
        for( ll i = 1; i <= m; i ++ ) {
            for( ll j = 1; j <= n; j ++ ) { //對每個點算貢獻值
                double p = 0; //點(i,j)被選中的狀況數
　　　　　　　　//另一個點在區域1，3，5，7
                p += (i-1)*(j-1)*(m-i+1)*(n-j+1);
                p += (i-1)*(n-j)*(m-i+1)*j;
                p += (m-i)*(j-1)*i*(n-j+1);
                p += (m-i)*(n-j)*i*j;
　　　　　　　　//另一個點在區域2，4，6，8　
                p += (i-1)*1*(m-i+1)*n;
                p += 1*(j-1)*m*(n-j+1);
                p += 1*(n-j)*m*j;
                p += (m-i)*1*i*n;
　　　　　　　　//另一個點在區域5
                p += m*n;
　　　　　　　　//點(i,j)被選中的機率
                p = (p*1.0)/sum;
                ans += 1-pow(1-p,k);
            }
        }
        printf("Case #%lld: %.0f\n",cas,ans);
    }
    return 0;
}