Less Coin Tosses(Gym - 102346L)【打表+找規律】

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題目連接

算法

打表+找規律

時間複雜度O(logN)

1.題意說的是給定你n位的二進制串，除了成對的（就是指那些1的個數相同或0的個數相同的），那些不成對的數有幾個。好比n爲3時，能夠有000,001,010,011,100,101,110,111這八種二進制數，其中001能夠與010配對，011能夠與110配對，剩餘的沒法再配對，因此最後輸出4。

2.看要求的數的範圍2<=N<=10^18，很是大，因此說不可能暴力去作，必定存在某種規律。

3.既然成對的就是指二進制串中1的個數相同，那麼咱們能夠用組合數的知識來解決。即從n位數中挑m位爲1，看這樣的數有幾個，若爲偶數，則說明沒有不成對的，不然說明有落單的，這時加1便可。總結得出下列公式：

\[\displaystyle \sum_{i=0}^n (C_{n}^{i}\%2) \]

4.公式有了，問題來了，n這麼大怎麼算。對於這種題，很大可能性說明存在某種規律，如何找到規律，就須要打表實現。能夠根據下列代碼來打表。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
/*打表*/
const int N = 1000;
ll c[N][N];
int n;
ll res[N];
void init()
{
    for(int i = 0; i < N;i ++)
        for(int j = 0; j <= i; j++)
        {
            if(!j) c[i][j] = 1;
            else
                c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1]);
        }
}
int main()
{
    init();
    for(int i = 2; i < N; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= i; j++)
        {
            res[i] += (c[i][j] % 2);
        }
        cout << "res[" << i << "] = " << res[i] << endl;
    }
}

因爲沒有取餘致使後面的數溢出變成負數了，不過沒有關係，咱們只須要看前面幾個數就能找到規律。

看上面這張圖，仔細觀察顏色相同的下劃線標註的位置。好像成2的倍數的數他們的結果相同。好像還有點什麼，那麼咱們就把每一個數拆分紅二進制數，找到他們在輸出中的位置，仔細觀察。

將上圖中二進制數對應的結果進行比對，再與二進制數自己的特徵加以比較，發現最終的結果與n對應的二進制數中的1的個數有關。由此，得出了最終規律。

5.總結一下，規律爲n對應的二進制數中1的個數k，答案爲2^k。

C++代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
/*打表
const int N = 1000;
ll c[N][N];
int n;
ll res[N];
void init()
{
    for(int i = 0; i < N;i ++)
        for(int j = 0; j <= i; j++)
        {
            if(!j) c[i][j] = 1;
            else
                c[i][j] = (c[i-1][j] + c[i-1][j-1]);
        }
}
int main()
{
    init();
    for(int i = 2; i < N; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= i; j++)
        {
            res[i] += (c[i][j] % 2);
        }
        cout << "res[" << i << "] = " << res[i] << endl;
    }
}
*/
ll n;
int main()
{
    cin >> n;
    ll res = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1) res <<= 1;
        n >>= 1;
    }
    cout << res ;
    return 0;
}

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