揹包問題

假設有abcde5個物品，重量爲w1...，價值爲v1...，揹包的承重量爲c，怎麼放的價值更高

 

1、0/1揹包問題

5中物品只有一件，動態規劃的子問題是前i個物品放在承重量爲j的揹包中，狀態變量：dp[i][j]

遍歷時i在外層，j在內層，也就是每次循環先求出前i-1個物品在不一樣載重量的狀況下的自大價值

而後增長一個物品，也就是前i個物品。

而在求前i個物品的最大價值時根據前i-1的結果：

1.當前載重量<新增的第i件物品的重量w[i]，也就是裝不下

dp[i][j] = dp[i-1][j]

2.裝得下

dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]):比較裝和不裝，其中若是裝當前物品，那麼重量佔了w[i],前邊i-1件物品只能使用j-w[i]的重量

到這裏時間複雜度無法優化，可是還能優化空間複雜度

咱們能夠觀察到，這裏的i只是記錄進行到前多少件物品了，其實咱們不須要前幾件的結果，咱們須要的是最後的結果，因此咱們沒有必要記錄

i的信息。能夠用一個一維數組dp[j]只記錄當前信息i件物品下，不一樣載重量的價值。而後每次都更新。更新到最後就是想要的

這裏雖然不記錄i的信息，可是仍是要保留循環，表明這是前i件的狀況，i不一樣的狀況下，dp[j]是不一樣的。

注意這裏須要倒着遍歷，由於dp[j]會不斷更新，前邊更新的結果不能影響後邊
若是從前邊開始，前邊的dp[j]就會更新爲i的狀態，i-1的狀態就消失了，可是後邊須要這些
若是從後邊開始，前邊的用不到後邊的結果

public void p01(int[] w,int[] v,int c){
        int[] dp = new int[c+1];
        for (int i = 0; i < w.length; i++) {
//            注意這裏須要倒着遍歷，由於dp[j]會不斷更新，前邊更新的結果不能影響後邊
//            若是從前邊開始，前邊的dp[j]就會更新爲i的狀態，i-1的狀態就消失了，可是後邊須要這些
//            若是從後邊開始，前邊的用不到後邊的結果
            for (int j = c; j >=w[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[c]);
    }

2.徹底揹包問題

物品數量沒有限制

public void pComplete(int[] w,int[] v,int c){
        int[] dp = new int[c+1];
        for (int i = 0; i < w.length; i++) {
            //這裏應該從前日後遍歷，01揹包不能從前日後的緣由實際上是若是當前承重量能夠裝下多件第i件物品時
            //01問題不能裝多個，因此裝完後要用前一次的狀態比較（前一次確定是沒有裝i的）
            //可是徹底揹包不一樣，裝完後要用最新的狀態比較，由於還能夠繼續裝i
            for (int j = w[j]; j <=c; j++) {
                dp[j] = Math.max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
        System.out.println(dp[c]);
    }