錯排問題

定義

考慮一個有 \(n\) 個元素的排列，若一個排列中全部的元素都不在本身原來的位置上，那麼這樣的排列就稱爲原排列的一個錯排。

\(n\) 個元素的錯排數記爲 \(D(n)\)

公式

\(D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))\)

其中 \(D(0)=1,D(1)=0\)

考慮當前放到了第 \(n\) 個元素，那麼這個元素確定不能放到第 \(n\) 個位置上

也就是說，這個元素能夠放到除了第 \(n\) 個位置之外的 \(n-1\) 個位置上

假設第 \(n\) 個元素放到了第 \(i\) 個位置上

那麼原來第 \(i\) 個位置上的元素就必須放到其它的位置上

若是這個元素放到了第 \(n\) 個位置上

就至關於位置 \(n\) 和位置 \(i\) 的元素交換，其它的元素不動，也就是一個 \(n-2\) 規模的錯排問題

若是這個元素放到了除了第 \(n\) 個位置和第 \(i\) 個位置之外的 \(n-2\) 個位置中的一個

那麼不去考慮放在第 \(i\) 個位置的第 \(n\) 個元素

就至關於一個 \(n-1\) 規模的錯排問題

只不過把第 \(i\) 個元素不能放到第 \(i\) 個位置上改成了第 \(i\) 個元素不能放到第 \(n\) 個位置上