【數學】理解矩陣一二三

轉載https://blog.csdn.net/myan/article/list 自孟巖老師

原文網址：

http://blog.csdn.net/myan/archive/2006/04/02/647511.aspx

http://blog.csdn.net/myan/archive/2006/04/03/649018.aspx

https://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397

很喜歡這種對數學創建直觀印象的方式，雖然像做者所說缺少嚴謹性，可是對於咱們這些只是但願越發理解數學而並不立志成爲數學家的人來講，大抵是無所謂噠！很是但願孟巖老師能繼續寫下去！感謝！

 這兩篇文章發表於去年的4月。在第二部分結束的時候，我說：
       「矩陣不只能夠做爲線性變換的描述，並且能夠做爲一組基的描述。而 做爲變換的矩陣，不但能夠把線性空間中的一個點給變換到另外一個點去，並且也可以把線性空間中的一個座標系（基）表換到另外一個座標系（基）去。並且，變換點 與變換座標系，具備殊途同歸的效果。線性代數裏最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內容，線性代數裏不少定理和規則會變得更加清晰、直覺。

這個留在下一篇再寫吧。

由於有別的事情要作，下一篇可能要過幾天再寫了。 」

然而這一拖就是一年半。一年半以來，這兩篇粗糙放肆的文章被處處轉載，以致於在Google的搜索提示中，個人名字跟「矩陣」是一對關聯詞彙。這對於學生時代數學一直不好的我來講，實在是使人惶恐的事情。數學是何等輝煌精緻的學問！表明着人類智慧的最高成就，是人與上帝對話的語言。而我實在連數學的門都還沒進去，不要說談什麼理解，就是稍微難一些的題目我也不多能解開。我有什麼資格去談矩陣這樣重要的一個數學概念呢？更況且，個人想法直觀是直觀，未見的是正確的啊，會不會誤人子弟呢？所以，算了吧，到此爲止吧，我這麼想。

        是時不時收到的來信逐漸改變了個人想法。

        一年半以來，我收到過不下一百封直接的來信，要求我把後面的部分寫出來。這些來信大部分是國內的網友和學生，也有少數來自正在國外深造的朋友，大部分是鼓勵，有的是誠摯的請求，也有少數嚴厲斥責我不守承諾。無論是何種態度，這都代表他們對我這一點點小小的思考成果的鼓勵，特別是對於我這種思惟的視角和嘗試的鼓勵。他們在信中讓我知道，儘管個人數學水平不高，可是我這種從普通人（而不是數學家）視角出發，強調對數學概念和規則的直覺理解的思路，對於不少人是有益的。也許這條路子在數學中絕非正道，也不會走得很遠，可是不管如何，在必定的階段，對一部分人來講，較之目前數學教材廣泛採用的思路，這種方式可能更容易理解一些。既然是可能對一部分人有幫助的事情，那麼我就不該該心存太多雜念，應該不斷思考和總結下去。

       因此，下面就是大家來信要求我寫出來的東西。

       首先來總結一下前面兩部分的一些主要結論：

1. 首先有空間，空間能夠容納對象運動的。一種空間對應一類對象。
2. 有一種空間叫線性空間，線性空間是容納向量對象運動的。
3. 運動是瞬時的，所以也被稱爲變換。
4. 矩陣是線性空間中運動（變換）的描述。
5. 矩陣與向量相乘，就是實施運動（變換）的過程。
6. 同一個變換，在不一樣的座標系下表現爲不一樣的矩陣，可是它們的本質是同樣的，因此本徵值相同。

        下面讓咱們把視力集中到一點以改變咱們以往看待矩陣的方式。咱們知道，線性空間裏的基本對象是向量，而向量是這麼表示的：

        [a₁, a₂, a₃, ..., a_n]

       矩陣呢？矩陣是這麼表示的：

        a₁₁, a₁₂, a₁₃, ..., a_1n
        a₂₁, a₂₂, a₂₃, ..., a_2n
                     ...
        a_n1, a_n2, a_n3, ..., a_nn

        不用太聰明，咱們就能看出來，矩陣是一組向量組成的。特別的，n維線性空間裏的方陣是由n個n維向量組成的。咱們在這裏只討論這個n階的、非奇異的方陣，由於理解它就是理解矩陣的關鍵，它纔是通常狀況，而其餘矩陣都是意外，都是不得不對付的討厭情況，大能夠放在一邊。這裏多一句嘴，學習東西要抓住主流，不要糾纏於旁支末節。很惋惜咱們的教材課本大多數都是把主線埋沒在細節中的，搞得你們還沒明白怎麼回事就先被灌暈了。好比數學分析，明明最要緊的觀念是說，一個對象能夠表達爲無窮多個合理選擇的對象的線性和，這個概念是貫穿始終的，也是數學分析的精華。可是課本里自始至終不講這句話，反正就是讓你作吉米多維奇，掌握一大堆解偏題的技巧，記住各類特殊狀況，兩類間斷點，怪異的可微和可積條件（誰還記得柯西條件、迪裏赫萊條件...？），最後考試一過，一切忘光光。要我說，還不如反覆強調這一個事情，把它深深入在腦子裏，別的東西忘了就忘了，真碰到問題了，再查數學手冊嘛，何須因小失大呢？

        言歸正傳。若是一組向量是彼此線性無關的話，那麼它們就能夠成爲度量這個線性空間的一組基，從而事實上成爲一個座標系體系，其中每個向量都躺在一根座標軸上，而且成爲那根座標軸上的基本度量單位（長度1）。

        如今到了關鍵的一步。看上去矩陣就是由一組向量組成的，並且若是矩陣非奇異的話（我說了，只考慮這種狀況），那麼組成這個矩陣的那一組向量也就是線性無關的了，也就能夠成爲度量線性空間的一個座標系。結論：矩陣描述了一個座標系。

        「慢着！」，你嚷嚷起來了，「你這個騙子！你不是說過，矩陣就是運動嗎？怎麼這會矩陣又是座標系了？」

        嗯，因此我說到了關鍵的一步。我並無騙人，之因此矩陣又是運動，又是座標系，那是由於——

        「運動等價於座標系變換」。

        對不起，這話其實不許確，我只是想讓你印象深入。準確的說法是：

       「對象的變換等價於座標系的變換」。

       或者：

       「固定座標系下一個對象的變換等價於固定對象所處的座標系變換。」

       說白了就是：

        「運動是相對的。」        

        讓咱們想一想，達成同一個變換的結果，好比把點(1, 1)變到點(2, 3)去，你能夠有兩種作法。第一，座標系不動，點動，把(1, 1)點挪到(2, 3)去。第二，點不動，變座標系，讓x軸的度量（單位向量）變成原來的1/2，讓y軸的度量（單位向量）變成原先的1/3，這樣點仍是那個點，但是點的座標就變成(2, 3)了。方式不一樣，結果同樣。

        從第一個方式來看，那就是我在《理解矩陣》1/2中說的，把矩陣當作是運動描述，矩陣與向量相乘就是使向量（點）運動的過程。在這個方式下，

       Ma = b

       的意思是：

       「向量a通過矩陣M所描述的變換，變成了向量b。」

        而從第二個方式來看，矩陣M描述了一個座標系，姑且也稱之爲M。那麼：

        Ma = b

       的意思是：

        「有一個向量，它在座標系M的度量下獲得的度量結果向量爲a，那麼它在座標系I的度量下，這個向量的度量結果是b。」

        這裏的I是指單位矩陣，就是主對角線是1，其餘爲零的矩陣。

        而這兩個方式本質上是等價的。

        我但願你務必理解這一點，由於這是本篇的關鍵。

        正由於是關鍵，因此我得再解釋一下。

        在M爲座標系的意義下，若是把M放在一個向量a的前面，造成Ma的樣式，咱們能夠認爲這是對向量a的一個環境聲明。它至關因而說：

        「注意了！這裏有一個向量，它在座標系M中度量，獲得的度量結果能夠表達爲a。但是它在別的座標系裏度量的話，就會獲得不一樣的結果。爲了明確，我把M放在前面，讓你明白，這是該向量在座標系M中度量的結果。」

       那麼咱們再看孤零零的向量b：

       b

       多看幾遍，你沒看出來嗎？它其實不是b，它是：

       Ib

       也就是說：「在單位座標系，也就是咱們一般說的直角座標系I中，有一個向量，度量的結果是b。」

       而  Ma = Ib的意思就是說：

       「在M座標系裏量出來的向量a，跟在I座標系裏量出來的向量b，其實根本就是一個向量啊！」

       這哪裏是什麼乘法計算，根本就是身份識別嘛。

       從這個意義上咱們從新理解一下向量。向量這個東西客觀存在，可是要把它表示出來，就要把它放在一個座標系中去度量它，而後把度量的結果（向量在各個座標軸上的投影值）按必定順序列在一塊兒，就成了咱們平時所見的向量表示形式。你選擇的座標系（基）不一樣，得出來的向量的表示就不一樣。向量仍是那個向量，選擇的座標系不一樣，其表示方式就不一樣。所以，按道理來講，每寫出一個向量的表示，都應該聲明一下這個表示是在哪一個座標系中度量出來的。表示的方式，就是 Ma，也就是說，有一個向量，在M矩陣表示的座標系中度量出來的結果爲a。咱們平時說一個向量是[2 3 5 7]^T，隱含着是說，這個向量在 I 座標系中的度量結果是[2 3 5 7]^T，所以，這個形式反而是一種簡化了的特殊狀況。

        注意到，M矩陣表示出來的那個座標系，由一組基組成，而那組基也是由向量組成的，一樣存在這組向量是在哪一個座標系下度量而成的問題。也就是說，表述一個矩陣的通常方法，也應該要指明其所處的基準座標系。所謂M，實際上是 IM，也就是說，M中那組基的度量是在 I 座標系中得出的。從這個視角來看，M×N也不是什麼矩陣乘法了，而是聲明瞭一個在M座標系中量出的另外一個座標系N，其中M自己是在I座標系中度量出來的。

       回過頭來講變換的問題。我剛纔說，「固定座標系下一個對象的變換等價於固定對象所處的座標系變換」，那個「固定對象」咱們找到了，就是那個向量。可是座標系的變換呢？我怎麼沒看見？

       請看：

       Ma = Ib

       我如今要變M爲I，怎麼變？對了，再前面乘以個M^-1，也就是M的逆矩陣。換句話說，你不是有一個座標系M嗎，如今我讓它乘以個M^-1，變成I，這樣一來的話，原來M座標系中的a在I中一量，就獲得b了。       我建議你此時此刻拿起紙筆，畫畫圖，求得對這件事情的理解。好比，你畫一個座標系，x軸上的衡量單位是2，y軸上的衡量單位是3，在這樣一個座標系裏，座標爲(1，1)的那一點，實際上就是笛卡爾座標系裏的點(2, 3)。而讓它原形畢露的辦法，就是把原來那個座標系:       2 0       0 3       的x方向度量縮小爲原來的1/2，而y方向度量縮小爲原來的1/3，這樣一來座標系就變成單位座標系I了。保持點不變，那個向量如今就變成了(2, 3)了。       怎麼可以讓「x方向度量縮小爲原來的1/2，而y方向度量縮小爲原來的1/3」呢？就是讓原座標系：      2 0      0 3       被矩陣：       1/2   0         0   1/3       左乘。而這個矩陣就是原矩陣的逆矩陣。       下面咱們得出一個重要的結論：        「對座標系施加變換的方法，就是讓表示那個座標系的矩陣與表示那個變化的矩陣相乘。」        再一次的，矩陣的乘法變成了運動的施加。只不過，被施加運動的再也不是向量，而是另外一個座標系。        若是你以爲你還搞得清楚，請再想一下剛纔已經提到的結論，矩陣MxN，一方面代表座標系N在運動M下的變換結果，另外一方面，把M當成N的前綴，當成N的環境描述，那麼就是說，在M座標系度量下，有另外一個座標系N。這個座標系N若是放在I座標系中度量，其結果爲座標系MxN。        在這裏，我實際上已經回答了通常人在學習線性代數是最困惑的一個問題，那就是爲何矩陣的乘法要規定成這樣。簡單地說，是由於：        1. 從變換的觀點看，對座標系N施加M變換，就是把組成座標系N的每個向量施加M變換。        2. 從座標系的觀點看，在M座標系中表現爲N的另外一個座標系，這也歸結爲，對N座標系基的每個向量，把它在I座標系中的座標找出來，而後匯成一個新的矩陣。        3. 至於矩陣乘以向量爲何要那樣規定，那是由於一個在M中度量爲a的向量，若是想要恢復在I中的真像，就必須分別與M中的每個向量進行內積運算。我把這個結論的推導留給感興趣的朋友吧。應該說，其實到了這一步，已經很容易了。        綜合以上1/2/3，矩陣的乘法就得那麼規定，一切有根有據，毫不是哪一個神經病胡思亂想出來的。          我已經沒法說得更多了。矩陣又是座標系，又是變換。究竟是座標系，仍是變換，已經說不清楚了，運動與實體在這裏統一了，物質與意識的界限已經消失了，一切歸於沒法言說，沒法定義了。道可道，很是道，名可名，很是名。矩陣是在是不可道之道，不可名之名的東西。到了這個時候，咱們不得不認可，咱們偉大的線性代數課本上說的矩陣定義，是無比正確的：        「矩陣就是由m行n列數放在一塊兒組成的數學對象。」        好了，這基本上就是我想說的所有了。還留下一個行列式的問題。矩陣M的行列式其實是組成M的各個向量按照平行四邊形法則搭成一個n維立方體的體積。對於這一點，我只能感嘆於其精妙，卻沒法揭開其中奧祕了。也許我掌握的數學工具不夠，我但願有人可以給咱們你們講解其中的道理了。        我不知道是否講得足夠清楚了，反正這一部分須要您花些功夫去推敲。        此外，請你們沒必要等待這個系列的後續部分。以個人工做狀況而言，近期內很難保證繼續投入腦力到這個領域中，儘管我仍然對此興致濃厚。不過若是還有（四）的話，多是一些站在應用層面的考慮，好比對計算機圖形學相關算法的理解。可是我不承諾這些討論近期內會出現了。