SPFA 算法詳解

適用範圍：給定的圖存在負權邊，這時相似Dijkstra等算法便沒有了用武之地，而Bellman-Ford算法的複雜度又太高，SPFA算法便 派上用場了。 咱們約定有向加權圖G不存在負權迴路，即最短路徑必定存在。固然，咱們能夠在執行該算法前作一次拓撲排序，以判斷是否存在負權迴路，但這不是咱們討論的重 點。

算法思想：咱們用數組d記錄每一個結點的最短路徑估計值，用鄰接表來存儲圖G。咱們採起的方法是動態逼近法：設立一個先進先出的隊列用來保存待優化的 結點，優化時每次取出隊首結點u，而且用u點當前的最短路徑估計值對離開u點所指向的結點v進行鬆弛操做，若是v點的最短路徑估計值有所調整，且v點不在 當前的隊列中，就將v點放入隊尾。這樣不斷從隊列中取出結點來進行鬆弛操做，直至隊列空爲止

 

指望的時間複雜度O(ke)， 其中k爲全部頂點進隊的平均次數，能夠證實k通常小於等於2。

 

實現方法：

　　創建一個隊列，初始時隊列裏只有起始點，再創建一個表格記錄起始點到全部點的最短路徑（該表格的初始值要賦爲極大值，該點到他自己的路徑賦爲 0）。而後執行鬆弛操做，用隊列裏有的點做爲起始點去刷新到全部點的最短路，若是刷新成功且被刷新點不在隊列中則把該點加入到隊列最後。重複執行直到隊列 爲空。

判斷有無負環：
　　若是某個點進入隊列的次數超過N次則存在負環（SPFA沒法處理帶負環的圖）

 

 

 

 

首先創建起始點a到其他各點的
最短路徑表格

                                  

首先源點a入隊，當隊列非空時：
　１、隊首元素（a）出隊，對以a爲起始點的全部邊的終點依次進行鬆弛操做（此處有b,c,d三個點），此時路徑表格狀態爲：

                                  

在鬆弛時三個點的最短路徑估值變小了，而這些點隊列中都沒有出現，這些點
須要入隊，此時，隊列中新入隊了三個結點b,c,d

隊首元素b點出隊，對以b爲起始點的全部邊的終點依次進行鬆弛操做（此處只有e點），此時路徑表格狀態爲：

                                 

在最短路徑表中，e的最短路徑估值也變小了，e在隊列中不存在，所以e也要
入隊，此時隊列中的元素爲c，d，e

隊首元素c點出隊，對以c爲起始點的全部邊的終點依次進行鬆弛操做（此處有e,f兩個點），此時路徑表格狀態爲：

                                 

在最短路徑表中，e，f的最短路徑估值變小了，e在隊列中存在，f不存在。所以
e不用入隊了，f要入隊，此時隊列中的元素爲d，e，f

 隊首元素d點出隊，對以d爲起始點的全部邊的終點依次進行鬆弛操做（此處只有g這個點），此時路徑表格狀態爲：

 

 

                               

在最短路徑表中，g的最短路徑估值沒有變小（鬆弛不成功），沒有新結點入隊，隊列中元素爲f，g

隊首元素f點出隊，對以f爲起始點的全部邊的終點依次進行鬆弛操做（此處有d，e，g三個點），此時路徑表格狀態爲：

                               

在最短路徑表中，e，g的最短路徑估值又變小，隊列中無e點，e入隊，隊列中存在g這個點，g不用入隊，此時隊列中元素爲g，e

隊首元素g點出隊，對以g爲起始點的全部邊的終點依次進行鬆弛操做（此處只有b點），此時路徑表格狀態爲：

                           

在最短路徑表中，b的最短路徑估值又變小，隊列中無b點，b入隊，此時隊列中元素爲e，b
隊首元素e點出隊，對以e爲起始點的全部邊的終點依次進行鬆弛操做（此處只有g這個點），此時路徑表格狀態爲：

 

                          

在最短路徑表中，g的最短路徑估值沒變化（鬆弛不成功），此時隊列中元素爲b

隊首元素b點出隊，對以b爲起始點的全部邊的終點依次進行鬆弛操做（此處只有e這個點），此時路徑表格狀態爲：

                         

在最短路徑表中，e的最短路徑估值沒變化（鬆弛不成功），此時隊列爲空了

最終a到g的最短路徑爲１４

 

java代碼

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

package spfa負權路徑;   import java.awt.List; import java.util.ArrayList; import java.util.Scanner; public class SPFA {     /**      * @param args      */     public long[] result;         //用於獲得第s個頂點到其它頂點之間的最短距離     //數組實現鄰接表存儲     class edge{         public int a;//邊的起點         public int b;//邊的終點         public int value;//邊的值         public edge(int a,int b,int value){             this.a=a;             this.b=b;             this.value=value;         }     }     public static void main(String[] args) {         // TODO Auto-generated method stub         SPFA spafa=new SPFA();         Scanner scan=new Scanner(System.in);         int n=scan.nextInt();         int s=scan.nextInt();         int p=scan.nextInt();         edge[] A=new edge[p];         for(int i=0;i<p;i++){             int a=scan.nextInt();             int b=scan.nextInt();             int value=scan.nextInt();             A[i]=spafa.new edge(a,b,value);         }         if(spafa.getShortestPaths(n,s,A)){             for(int i=0;i<spafa.result.length;i++){                 System.out.println(spafa.result[i]+" ");             }         }else{             System.out.println("存在負環");         }     }     /*      * 參數n:給定圖的頂點個數      * 參數s:求取第s個頂點到其它全部頂點之間的最短距離      * 參數edge:給定圖的具體邊      * 函數功能：若是給定圖不含負權迴路，則能夠獲得最終結果，若是含有負權迴路，則不能獲得最終結果      */     private boolean getShortestPaths(int n, int s, edge[] A) {         // TODO Auto-generated method stub         ArrayList<Integer> list = new ArrayList<Integer>();         result=new long[n];         boolean used[]=new boolean[n];         int num[]=new int[n];         for(int i=0;i<n;i++){             result[i]=Integer.MAX_VALUE;             used[i]=false;         }         result[s]=0;//第s個頂點到自身距離爲0         used[s]=true;//表示第s個頂點進入數組隊         num[s]=1;//表示第s個頂點已被遍歷一次         list.add(s); //第s個頂點入隊         while(list.size()!=0){             int a=list.get(0);//獲取數組隊中第一個元素             list.remove(0);//刪除數組隊中第一個元素             for(int i=0;i<A.length;i++){             //當list數組隊的第一個元素等於邊A[i]的起點時                 if(a==A[i].a&&result[A[i].b]>(result[A[i].a]+A[i].value)){                     result[A[i].b]=result[A[i].a]+A[i].value;                     if(!used[A[i].b]){                         list.add(A[i].b);                         num[A[i].b]++;                         if(num[A[i].b]>n){                             return false;                         }                         used[A[i].b]=true;//表示邊A[i]的終點b已進入數組隊                     }                 }             }             used[a]=false; //頂點a出數組對         }         return true;     } }