【Luogu5348】密碼解鎖（莫比烏斯反演，數論）

【Luogu5348】密碼解鎖（莫比烏斯反演，數論）

題面

洛谷

題解

首先題目給定的限制是\(\sum_{n|i}a[i]=\mu(n)\)，而後把這個東西反演一下，
莫比烏斯反演的式子是：\(g(n)=\sum_{n|i}f(i)\rightarrow f(n)=\sum_{n|i}g(i)\mu(\frac{i}{n})\)，在這裏\(\mu\)就是\(g\)，而\(a\)就是\(f\)。
因此咱們能夠獲得：\(a[m]=\sum_{m|i}\mu(i)\mu(\frac{i}{m})=\sum_{i=1}^{n/m}\mu(i)\mu(im)\)。
而後直接把後面拆開，獲得：\(\mu(m)\sum_{i=1}^{n/m}[gcd(i,m)=1]\mu(i)^2\)
後面那一半接着拆，能夠獲得：
\[\begin{aligned} a[m]&=\mu(m)\sum_{i=1}^{n/m}\mu(i)^2\sum_{j|i,j|m}\mu(j)\\ &=\mu(m)\sum_{j|m}\mu(j)\sum_{j|i}^{n/m}\mu(i)^2 \end{aligned}\]
前面的\(j\)顯然只有\(\sqrt m\) 個了。
後面一半枚舉最小的平方因子，而後把這部分的貢獻減去就好了，這部分的複雜度是\(O(\sqrt \frac{n}{m})\)。
因此總的複雜度就是\(O(\sigma_0(m)\sqrt{\frac{n}{m}})\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
inline ll read()
{
    ll x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
ll n,ans;int m,fac[100],p;;
const int N=1e6;
bool zs[N];
int mu[N],pri[N],tot;
void Sieve()
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i)
    {
        if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<N;++j)
        {
            zs[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0)break;
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
void Calc(int j,int v)
{
    int nn=n/m/j,ret=0;
    for(int i=1;i*i<=nn*j;++i)
    {
        int ii=i*i/__gcd(i*i,j);
        ret+=nn/ii*mu[i];
    }
    ans+=v*ret;
}
void dfs(int x,int j,int mu)
{
    if(x==p+1){Calc(j,mu);return;}
    dfs(x+1,j,mu);
    dfs(x+1,j*fac[x],-mu);
}
int main()
{
    int T=read();Sieve();
    while(T--)
    {
        n=read();m=read();p=ans=0;
        int x=m;bool fl=false;
        for(int i=2;i*i<=x;++i)
            if(x%i==0)
            {
                int c=0;fac[++p]=i;
                while(x%i==0)++c,x/=i;
                if(c>1){fl=true;break;}
            }
        if(fl){puts("0");continue;}
        if(x>1)fac[++p]=x;
        dfs(1,1,1);
        printf("%lld\n",ans*((p&1)?-1:1));
    }
}