如何判斷一個多邊形是否合法 (Swift 代碼實現)

背景及問題分析

利用無人機對一片區域進行測繪前，咱們會先在地圖上框選一個區域，而後再規劃飛行的路線，而須要測繪的這片區域每每是一個多邊形。在 MeshKit iOS 中，咱們加入了多邊形區域的編輯功能，其中就涉及判斷用戶所編輯出來的多邊形是否合法的問題。

首先咱們要肯定一個標準：怎麼樣纔算一個不合法的多邊形 ？咱們能夠簡單地經過下面這幅圖來解釋一下：

咱們能夠看出前面兩個分別是凹多邊形和凸多邊形，而最後一張則是咱們所說的不合法多邊形，能夠看出這個不合法的多邊形的特徵就是：它存在某條邊與另一條邊相交的狀況 。

那麼要判斷一個多邊形是否合法，咱們只要判斷組成多邊形的全部線段是否存在相交的狀況便可，固然，咱們這裏所說的相交是 規範相交 ，即 交點不在線段的端點上 。

好了，那麼如今的問題能夠簡化成：如何判斷兩條線段是否規範相交 。

算法解析

這裏咱們須要藉助 向量的叉積 來進行判斷。

叉積，又稱向量積，是對三維空間中的兩個向量的二元運算。

這裏推薦 3Blue1Brown 的 視頻 來快速回顧一下叉積的概念(下面的兩幅截圖來自此視頻)。咱們只需知道叉積的結果是有正負的，好比咱們以向量 爲標準，以下圖，向量 在 的 順時針方向，那麼 ：

若是向量 在 的 逆時針方向，那麼 ：

那麼咱們如何利用叉積的特性運用到判斷線段是否相交上呢？

咱們先看下面最直接的一個線段相交的狀況：

線段 和 線段 明顯存在一個交點，從上面這張圖咱們能夠作一個簡單的結論：若是一條的線段的兩個端點在另一條線段兩側，那麼這兩條線段可能相交，注意這裏說的是可能相交，稍後會講到另一種狀況。

咱們能夠將上面的圖轉換爲向量的狀況來看：

是否是以爲似曾相識，這跟上面提到的叉積的狀況是否是很相似？ 向量 在 向量 在 的順時針方向，那麼：

用 A 表示 的叉積結果，用 B 表示 的叉積結果，那麼 一條的線段的兩個端點在另一條線段兩側 這個幾何現象能夠用這個公式表示 ：

咱們前面提到 若是一條的線段的兩個端點在另一條線段兩側，那麼這兩條線段可能相交 ，爲何是可能相交呢？若是咱們將 線段 往右邊移動一下，會存在下面這種狀況：

從上圖能夠看出，線段 的兩個端點在線段 兩側，可是它們並無相交。

那麼如何排除這種狀況呢？其實很簡單，咱們以前都是以線段 做爲主視角，若是將主視角換成線段 ，那麼咱們很容易看出 線段 的兩個端點並無在 線段 的兩側。因此咱們再次看回上面相交的那幅圖，爲了可以充分的判斷兩條線段相交，此次以 爲主視角看待這個問題，求叉積：

向量 在 的逆時針方向，那麼： 向量 在 的順時針方向，那麼：

綜上，咱們能夠得出：

當 && 的時候，兩條線段規範相交。 至於向量的叉積如何運算，這裏就不細寫了，給出一張計算草稿給你們過目一下：

示例代碼

根據計算草稿的內容，咱們就很容易經過代碼來實現了：

private func isIntersect(line1: (CGPoint, CGPoint), line2: (CGPoint, CGPoint)) -> Bool {
    let p1 = line1.0
    let p2 = line1.1
    let q1 = line2.0
    let q2 = line2.1

    let a1 = (p2.x - p1.x) * (q1.y - p1.y) - (q1.x - p1.x) * (p2.y - p1.y)
    let a2 = (p2.x - p1.x) * (q2.y - p1.y) - (q2.x - p1.x) * (p2.y - p1.y)
    
    let b1 = (q2.x - q1.x) * (p1.y - q1.y) - (p1.x - q1.x) * (q2.y - q1.y)
    let b2 = (q2.x - q1.x) * (p2.y - q1.y) - (p2.x - q1.x) * (q2.y - q1.y)
    
    if a1 * a2 < 0 && b1 * b2 < 0 {
        return true
    }
    return false
}
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因爲筆者能力有限，文中若有錯誤還請各位讀者不吝賜教。