223.機率統計

現象

• 肯定現象
• 隨機現象
  • 隨機試驗
    • 定義
      • 對隨機現象的觀察、記錄、試驗統稱爲隨機試驗
    • 特色
      • (1)  試驗能夠在相同的條件下重複進行;
      • (2)  每次試驗的可能結果不止一個, 而且能事先明確試驗的全部可能的結果;
      • (3)  進行一次試驗以前不能肯定哪個結果會出現.
      • 在機率論中將具備上面特色的試驗稱爲隨機試驗，用E表示隨機試驗
    • 概念
      • 基本事件
        • 隨機試驗的每個可能結果
      • 樣本空間S
        • 基本事件的全體，隨機試驗E的全部結果構成的集合稱爲E的樣本空間，記爲S={e}，稱S中的元素e爲基本事件或樣本點．
      • 樣本點w
        • S中的元素
      • 復瑣事件
        • 由某些帶有共同特徵的基本事件所組成的事件
      • 隨機事件
        • 定義
          • 基本事件和復瑣事件的統稱
          • 從集合論的觀點看，一個隨機事件A不過是樣本空間S的一個子集而已，即             
          • 試驗的樣本空間S的子集稱爲的隨機事件，隨機事件簡稱事件，經常使用A，B，C表示
          • 當且僅當這一子集中一個樣本點出現時，稱事件A發生.
          • 事件A中所包含的某一個樣本點w出現，即,試驗所出現的樣本點
        • 分類
          • 基本事件: 由一個樣本點組成的單點集.
          • 必然事件：每次試驗中必定發生的事件.用S表示
          • 不可能事件：每次試驗中必定不發生的事件.用Ø表示
        • 事件間的關係
          • 試驗E的樣本空間Ω，A,B,C,AK（K=1，2，3）,爲試驗E的事件
          • 子事件
            • 若是事件A發生必然致使事件B發生，則稱事件B包含事件A，或稱事件A是事件B的子事件，記做A⊂B或B⊃A
            • 對任何事件A，都有Ω⊃A⊃Ø
            • 相等關係
              • 若A⊂B且B⊂A，則稱事件A與事件B相等（或稱等價），記做A=B
          • 互斥事件 AB=Ø
          • 差事件
          • 對立事件
          • 積事件
          • 和事件
          • 對立事件和互斥事件間關係
          • 兩事件獨立性
            • 定義
              • 已知事件B發生,並不影響事件A發生的機率,這時稱事件A、B獨立.
              • 若兩事件A、B知足P(AB)= P(A) P(B)   則稱A、B相互獨立，簡稱A、B獨立.
            • 定理一 事件A、B獨立的充要條件
              • • 若抽取是有放回的,   則A1與A2獨立
                • 若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立
            • 定理二
              • 若兩事件A、B獨立, 則
              • 也相互獨立
            • 推廣
            • 計算
        • 時間的運算知足的規律
      • 事件的機率和頻率
        • 頻率
        • 機率
          • 定義
            • 研究隨機現象，不只關心試驗中會出現哪些事件，更重要的是想知道事件出現的可能性大小，也就是事件的機率，記爲P（A）
            • 機率是隨機事件發生可能性大小的度量，事件發生的可能性越大，機率就越大
            • 注：機率是定義在集合域F上的一個非負的、規範的、可列可加的集函數。
          • 性質
            • • 推論
            • • 推論
          • 特殊的機率
            • 條件機率
              • 概念
                • 在解決許多機率問題時，每每須要在有某些附加信息(條件)下求事件的機率.
                • 如在事件B發生的條件下求事件A發生的機率，將此機率記做P(A|B).
                • 通常地   P(A|B) ≠ P(A)   
              • 定義
                • 設A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱
                • 爲在事件B發生的條件下,事件A的條件機率.
              • 性質
                • （1）非負性
                • （2）規範性
                • （3）可列可加性：                      
                  • 若
              • 計算
              • 乘法公式
                • 推廣
              • 全機率公式與貝葉斯公式Bayes
                • 劃分定義：
                  • 設S爲試驗E的樣本空間，B1,B2,…,Bn爲E的一組事件。若：
                  • 即：B1,B2,…,Bn至少有一個發生是必然的，但兩兩同時發生又是不可能的。
                  • 則稱B1,B2,…,Bn爲S的一個劃分,或稱爲一組完備事件組。
                • 定理：
                  • 設試驗E的樣本空間爲S，B1,B2,…,Bn爲S的一劃分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n；A爲E的事件，則
                  • 全機率公式
                  • 貝葉斯公式——「已知結果求緣由」是已知某結果發生條件下，探求各緣由發生可能性大小.
      • 試驗結果
        • 常見的兩類試驗結果：
          • 中心問題：將試驗結果數量化
            • 隨機變量
              • 定義
                • 定義在樣本空間S上，取值於實數域R上的函數X=f(w)，稱爲是樣本空間S上的（實值）隨機變量。
                • 隨機變量一般用Ｘ、Ｙ、Ｚ或ξ、η、ζ等表示
              • 分類
                • 離散型
                  • 定義
                    • 若是隨機變量X只取有限個或可列個（如正整數集）值，則稱X爲離散型隨機變量
                  • 性質
                    • 分佈列性質
                    • (1) 非負性：pk≥0    k=一、二、…；
                    • (2) 規範性：
                    • 反之，若一數列知足上述兩條性質，則它一定能夠做爲某個離散型
                    • 隨機變量的分佈列。
                  • 求機率分佈列的步驟
                  • 若干常見的離散型分佈
                    • 二點分佈(0-1分佈)
                    • 二項分佈
                    • 泊松分佈
                      • 特色
                        • 隨機變量的取值k是可列個，且隨着k的增大，事件發生的可能性越來越小。在大量的試驗中，稀有事件(機率很小的事件)A發生的次數服從或近似服從泊松分佈
                      • 二項分佈的極限分佈是泊松分佈
                  • 隨機變量的分佈函數
                    • 定義
                      • 給定一隨機變量X，對於任意的實數x，令 
                    • 性質
                • 非離散型
                  • 連續型
                    • 定義
                      • 設隨機變量X的分佈函數 F（x）若存在非負的函數 f（x），使對任意實數x有
                    • 性質
                    • 若干常見的連續型分佈
                      • 均勻分佈
                        • 性質
                          • 若
                          • 則
                      • 指數分佈
                        • 性質（無記憶性）
                      • 正態分佈
                        • 定義
                        • 性質
                        • 特殊的
                  • 其餘
              • 隨機變量的函數的分佈
                • 通常地，若已知X的機率分佈,且Y=g(X)，求Y的機率分佈的過程以下：
                  • 若Y爲離散量
                  • 若Y爲連續量
  • 特殊的隨機試驗
    • 等可能概型（古典概型）
      • 定義
        • 若隨機試驗知足下述兩個條件：
        •  (1) 它的樣本空間只有有限多個樣本點；
        • (2) 每一個樣本點出現的可能性相同。
        • 稱這種試驗爲等可能概型或古典概型.
      • 計算公式
      • 性質
      • 排列組合與古典機率的計算
        • 1.非重複的排列:
          • 從 n個不一樣元素中,每次取出k個不一樣的元素,按必定的順序排成一列稱爲排列,排列的種數記做
          • 注: 若k=n,此排列稱爲全排列, 若k<n,此排列稱爲選排列
        • 2.組合:
          • 從n個不一樣的元素中,每次取出k個不一樣的元素,與元素的順序無關組成一組叫做組合,其組合
        • 3.可重複的排列:
          • 從 n個不一樣元素中可重複取出m個元素的排列總數爲
    • 伯努利概型
      • 隨機現象的規律性只有在相同條件下進行大量重複試驗或觀察才能表現出來。將一個試驗重複獨立地進行n次，這是最基本最重要的一種具備獨立性試驗的模型。這裏講的獨立試驗是指各試驗間的結果相互之間無影響；而重複試驗應理解爲試驗中的事件在各次試驗中發生的可能性大小不變
      • 一次伯努利試驗----隨機試驗中一種最簡單的試驗是：只有兩個結果：A、A拔 的試驗。一般稱這樣的試驗爲一次伯努利(Bernoulli)試驗。
      • n重伯努利試驗En----將一次伯努利試驗重複獨立進行n次而造成的試驗稱爲n重伯努利試驗或n重伯努利概型，簡稱爲伯努利概型。
      • 定理：