二次三項式的因式分解

昨天前赴香港數學教育學會的週年聚會，會上有樑子傑老師的演講。其中說到一個實例：該如何教通常學生有關二次三項代數式的因式分解方法。筆者聽了以後，有點慚愧，事緣過去一直只是死記著十字相乘法來處理這類因式分解，箇中的原理，是並無深究過。 

　　除了用十字相乘法，也有些高手會直接拆項。好比說是6x²＋23x＋20，他能夠憑經驗以致直覺拆成6x²＋8x＋15x＋20，然後便有2x(3x＋4)＋5(3x＋4)，於是下一步即可分解成功，獲得(2x＋5)(3x＋4)。但對於初學因式分解的學生，最不明白的是，如何決定23x須拆成8x＋15x而不是別的6x＋17x或10x＋13x之類的呢？ 

　　經樑子傑老師解說後，筆者明白了，拆項法和十字相乘法的原理都是一樣的，而拆項法應該是更基本的，至於如何拆項，其實也能有跡可尋的，只需瞭解其原理便行。 

　　且從最基本的公式說起：

                        　ac＋ad＋bc＋bd

                        ＝a(c＋d)＋b(c＋d)

                        ＝(a＋b) (c＋d) 

請注意，ac＋ad＋bc＋bd式子中，首尾兩項（紅色）跟居中兩項（藍色）都是齊備了a、b、c、d四個數的。由此可知，首尾兩項的積，跟居中兩項的積是相等的，都是abcd。據這個原理，就能夠幫助我們判斷二次三項式應如何拆項來做因式分解。 

　　用回6x²＋23x＋20做例子。這種二次三項式，居中的兩項因能相加而變成一項，但首尾兩項卻沒有變動過，將其系數相乘，是6×20＝120，根據剛才所說的原理，現在我們要尋找兩個數□和■，兩者相乘同樣是120，兩者相加須是23。實際作法是把120分解成兩數相乘，看看哪一對數剛好滿足以前所說的兩個條件：□＋■＝23；□×■＝120。以試錯的方法，最後總會找到，僅有8和15這對數能同時滿足那兩個條件。換句話說，我們只有把23x拆成8x＋15x，這個二次三項式才能順利分解。 

　　十字相乘法（以下圖）乃是上述拆項法的改良，實質上也是要從新配置（尋找）出a、b、c、d四個系數，但方法上精妙多了。梁老師說，學生掌握了拆項的原理後，能夠嘗試同時使用拆項法及十字相乘法，這樣，會較易明白十字相乘法的使用竅門。梁老師把分解二次三項式的功力分紅四個級別，「初階」是明白拆項的原理並能實際使用，「進階」是拆項與十字相乘法一塊兒使用而無困難，「高階」是能僅是用十字相乘法就能夠分解二次三項式。「超級」的，又或是手中無劍心中亦無劍的境界，是連十字相乘法都沒必要用，見到某個二次三項式便能夠直接寫出因式分解的答案！ 

　　無奈的是，現時香港的數學教學只要求學生掌握十字相乘法，認為這是最基本的，誰知這是二次三項式分解中的「高階」方法，一點都不基本。事實上，想起小女之前中學時便始終感到十字相乘法難以掌握，而那時筆者也是知其然而不知其因此然，若是當時明白了這些，應可幫助她好好地掌握吧。

[讀後感]

高階方法vs基本原理

筆者發現越是「高端」的人士，越能明白「基本」(原理)的重要性的。越能欣賞基本原理及有關理論。
但是社會上包括很多理科教師，他們並不擁抱「基本」，只求「高階」方法,甚至誤認便捷方法就是好，實在是愚不可及的學習態度來的。

筆者有一個親身而很感愜意的經歷，就是筆者曾將九連環的原理，打從一條筆直的直線開始講起，與一位澳洲來的智力玩具發明及設計者分享，他自己具備數學碩士及工程學博士學位的，他大讚筆者的講解，認為很新穎，能夠寫成一本書的。其實當時筆者是從(九)連環的「盤古初開」的階段講起的，與經典九連環相比，傳統的這個玩兒(現在坊間正在廣泛流傳的)，其實屬「高階」產物，所以筆者見識過不少人都很自滿地自以為已經明白了九連環，甚至將那些有關數列公式盡擺出來，其實，還不知道這些「高階」的東西，對絕大部分人來說，都是沒有必要的，若是要真正弄懂九連環，應該要由九連環的胎兒時期(未成形以前)開始研究才對。

更「基本」的東西每每為人忽略，其實「基本」不少時候蘊藏大量智慧，要留待有智慧的人去發掘的。世上很多創新發明每每都是通過掌握事物的基本原理再往上(或橫向)探索，才能發展出來的。

 Re: 「高階」是能僅是用十字相乘法就能夠分解二次三項式。「超級」的，又或是手中無劍心中亦無劍的境界，是連十字相乘法都沒必要用，見到某個二次三項式便能夠直接寫出因式分解的答案！

首先，正好像不少玩扭計骰的人，無論遇到是三階抑或是其餘變化版的「扭計骰」(內地人稱「魔方」)，當即就去找屬「高階」的「攻略」或解法甚麼的。在下也親歷類似例子，他們當中不乏「人才」一看有關「解法」，就好快將任何新穎的「扭計骰」破解出來的。

試過遇到有這方面「才能」的一位青年，屢次向他詢問有關其周邊原理或相關「扭計骰」的關係的時候，他就最多隻能比較一下，各款「扭計骰」的難易程度的高低，其餘的如重要的Mechanical puzzle趣味性探討，他就一律表現得很無奈的，答不出有意義的話來。這些得謂「高階解法」和有關「高階扭計骰」其實對這類人的智商，相信是有所幫助和提升的，不過在數理和解題等科學智慧等方面，應該幫助微乎其微的。不知這算不算是「高分低能」的其中一個典型例子呢！

至於，原文梁先生提到的甚麼「超級」，在下倒認為有些不妥之處的。若是依這個邏輯推廣一下，就好知道問題所在。例如，那些在十秒以內能還原「扭計骰」的豈不是要拜他們為「扭計骰神仙」。那些神童輝之類的人，運算速度就夠「神乎其技」了，其實在絕大部分數學家的角度，「神童輝」簡直是「一文不值」的，更多是糟蹋了數學做為一講求美的演繹這一部分，數學學習與研究終究和「變魔術」應該分開來看代的。

簡體字版

而今才真懂因式分解十字相乘法的原理(做者：黃志華)

附實體智力遊戲迷的個人讀後感於本文末

原文網址：http://blogold.chinaunix.net/u/14418/showart_2490817.html 

　　昨天前赴香港數學教育學會的週年聚會，會上有樑子傑老師的演講。其中說到一個實例：該如何教通常學生有關二次三項代數式的因式分解方法。筆者聽了之後，有點慚愧，事緣過去一直只是死記着十字相乘法來處理這類因式分解，箇中的原理，是並沒有深究過。 

　　除了用十字相乘法，也有些高手會直接拆項。好比說是6x²＋23x＋20，他能夠憑經驗以致直覺拆成6x²＋8x＋15x＋20，而後便有2(3x＋4)＋5(3x＋4)，因而下一步即可分解成功，獲得(2x＋5) (3x＋4)。但對於初學因式分解的學生，最不明白的是，如何決定23x須拆成8x＋15x而不是別的6x＋17x或10x＋13x之類的呢？ 

　　經樑子傑老師解說後，筆者明白了，拆項法和十字相乘法的原理都是同樣的，而拆項法應該是更基本的，至於如何拆項，其實也能有跡可尋的，只需瞭解其原理便行。 

　　且從最基本的公式提及：

                        　ac＋ad＋bc＋bd

                        ＝a(c＋d)＋b(c＋d)

                        ＝(a＋b) (c＋d)

 

請注意，ac＋ad＋bc＋bd式子中，首尾兩項（紅色）跟居中兩項（藍色）都是齊備了a、b、c、d四個數的。由此可知，首尾兩項的積，跟居中兩項的積是相等的，都是abcd。據這個原理，就能夠幫助咱們判斷二次三項式應如何拆項來做因式分解。 

　　用回6x²＋23x＋20做例子。這種二次三項式，居中的兩項因能相加而變成一項，但首尾兩項卻沒有變更過，將其係數相乘，是6×20＝120，根據剛纔所說的原理，如今咱們要尋找兩個數□和■，兩者相乘一樣是120，兩者相加須是23。實際作法是把120分解成兩數相乘，看看哪一對數剛好知足以前所說的兩個條件：□＋■＝23；□×■＝120。以試錯的方法，最後總會找到，僅有8和15這對數能同時知足那兩個條件。換句話說，咱們只有把23x拆成8x＋15x，這個二次三項式才能順利分解。 

　　十字相乘法（以下圖）乃是上述拆項法的改良，實質上也是要從新配置（尋找）出a、b、c、d四個係數，但方法上精妙多了。梁老師說，學生掌握了拆項的原理後，能夠嘗試同時使用拆項法及十字相乘法，這樣，會較易明白十字相乘法的使用竅門。梁老師把分解二次三項式的功力分紅四個級別，「初階」是明白拆項的原理並能實際使用，「進階」是拆項與十字相乘法一塊兒使用而無困難，「高階」是能僅是用十字相乘法就能夠分解二次三項式。「超級」的，又或是手中無劍心中亦無劍的境界，是連十字相乘法都沒必要用，見到某個二次三項式便可以直接寫出因式分解的答案！ 

　　無奈的是，現時香港的數學教學只要求學生掌握十字相乘法，認爲這是最基本的，誰知這是二次三項式分解中的「高階」方法，一點都不基本。事實上，想起小女之前中學時便始終感到十字相乘法難以掌握，而那時筆者也是知其然而不知其因此然，若是當時明白了這些，應可幫助她好好地掌握吧。

[讀後感]

高階方法vs基本原理

筆者發現越是「高端」的人士，越能明白「基本」(原理)的重要性的。越能欣賞基本原理及有關理論。
但是社會上包括很多理科教師，他們並不擁抱「基本」，只求「高階」方法,甚至誤認便捷方法就是好，實在是愚不可及的學習態度來的。

筆者有一個親身而很感愜意的經歷，就是筆者曾將九連環的原理，打從一條筆直的直線開始講起，與一位澳洲來的智力玩具發明及設計者分享，他自己具備數學碩士及工程學博士學位的，他大讚筆者的講解，認爲很新穎，能夠寫成一本書的。其實當時筆者是從(九)連環的「盤古初開」的階段講起的，與經典九連環相比，傳統的這個玩兒(如今坊間正在普遍流傳的)，其實屬「高階」產物，所以筆者見識過不少人都很自滿地自覺得已經明白了九連環，甚至將那些有關數列公式盡擺出來，其實，還不知道這些「高階」的東西，對絕大部分人來講，都是沒有必要的，若是要真正弄懂九連環，應該要由九連環的胎兒時期(未成形以前)開始研究纔對。

更「基本」的東西每每爲人忽略，其實「基本」不少時候蘊藏大量智能，要留待有智慧的人去發掘的。世上很多創新發明每每都是經過掌握事物的基本原理再往上(或橫向)探索，才能發展出來的。

Re: 「高階」是能僅是用十字相乘法就能夠分解二次三項式。「超級」的，又或是手中無劍心中亦無劍的境界，是連十字相乘法都沒必要用，見到某個二次三項式便可以直接寫出因式分解的答案！


首先，正好像不少玩扭計骰的人，不管遇到是三階抑或是其它變化版的「扭計骰」(內地人稱「魔方」)，當即就去找屬「高階」的「攻略」或解法甚麼的。在下也親歷相似例子，他們當中不乏「人才」一看有關「解法」，就好快將任何新穎的「扭計骰」破解出來的。


試過遇到有這方面「才能」的一位青年，屢次向他詢問有關其周邊原理或相關「扭計骰」的關係的時候，他就最多隻能比較一下，各款「扭計骰」的難易程度的高低，其它的如重要的Mechanical puzzle趣味性探討，他就一律表現得很無奈的，答不出有意義的話來。這些得謂「高階解法」和有關「高階扭計骰」其實對這類人的智商，相信是有所幫助和提升的，不過在數理和解題等科學智慧等方面，應該幫助微乎其微的。不知這算不算是「高分低能」的其中一個典型例子呢！


至於，原文梁先生提到的甚麼「超級」，在下倒認爲有些不妥之處的。若是依這個邏輯推廣一下，就好知道問題所在。例如，那些在十秒之內能還原「扭計骰」的豈不是要拜他們爲「扭計骰神仙」。那些神童輝之類的人，運算速度就夠「神乎其技」了，其實在絕大部分數學家的角度，「神童輝」簡直是「一文不值」的，更多是糟蹋了數學做爲一講求美的演繹這一部分，數學學習與研究終究和「變魔術」應該分開來看代的。