【計算幾何 01】叉積

這幾天閒來無事去學習了一下計算幾何，發現其實不（sang）是（xin）太（bing）難（kuang）😛
今天就重點介紹一下簡單的叉積及其簡單的運用（畢竟做爲蒟蒻，難的搞不來啊）

什麼是計算幾何？

「對幾何外形信息的計算機表示、分析和綜合」——福雷斯特

其實所謂計算幾何，就是用計算機去解決不一樣維度上的幾何問題，而咱們要作的，就是設計一套算法，讓計算機去分析和解決一系列的幾何問題。

一些基本知識

座標的存儲

通常來講，計算幾何都涉及到了小數座標，這時開一個含兩個double類型的結構體就比較穩健，我通常的定義以下：

struct node//定義一個點 
{
    double x,y;
}a[11000];

線段的存儲

聰明絕頂的你確定已經想到了，線段就是包含兩個點的一個結構體，因此我通常的定義以下

struct line//定義一條線
{
    node p1,p2;
} list[11000];

叉積

終於到今天的主角—叉積了！😝
那麼什麼是叉積呢？叉積實際上是兩個矢量模的乘積再乘夾角正弦，通過推導能夠發現兩個向量\(A(x1,y1),B(x2,y2)\)的叉積爲：

\[x1*y2-x2*y1 \]

先丟出代碼：

double multi(node p1,node p2,node p0)//計算叉積，p1，p2，p0都爲點
{
    double x1,y1,x2,y2;
    x1=p1.x-p0.x;
    y1=p1.y-p0.y;
    x2=p2.x-p0.x;
    y2=p2.y-p0.y;
    return x1*y2-x2*y1;
}

這就是傳說中的叉積計算了！是否是很短呢，那就讓咱們來理解一下這個multi函數吧。

因爲叉積是向量間的運算，你們都知道向量能夠用末座標減去首座標獲得，那麼其實multi函數計算的就是向量A(x1,y1)與向量B(x2,y2)的叉積。

對於multi函數的意義，首先multi的正負是有特殊含義的：以p0爲參考點，若是multi大於0，則p2在p1的逆時針方向，反正，若是multi小於0，則p2在p1的順時針方向，特殊的，當multi等於0，p一、p二、p0三點共線。

其次，multi的值也是有含義的！經過後面的學習你就會發現，multi的絕對值就是以p0、p一、p2三點構成的三角形的面積的兩倍！利用這個規律，能夠完成不少與計算幾何有關的題目。

一些簡單的運用

【caioj 1212 判斷線段相交（跨立實驗）】

題目描述
【題意】
有n條線段（編號爲1~n），按1~n的順序放在二維座標系上（就是先放1號，再放2號……），
要求輸出最上面的那些線段的編號（就是沒有其餘線段壓在它上面的那些線段）
【輸入格式】
第一行第一個數n（ 1 <= n <= 10000）表示這組數據有n條線段。
下來n行，每行兩個座標，表示第i條線段的兩個端點。
【輸出格式】
一行。輸出最上面的線段的編號（從小到大）。相鄰兩個編號用空格隔開，最後一個編號沒有空格。
【樣例1輸入】
5
1 1 4 2
2 3 3 1
1 -2.0 8 4
1 4 8 2
3 3 6 -2.0
【樣例1輸出】
2 4 5
【樣例2輸入】
3
0 0 1 1
1 0 2 1
2 0 3 1
【樣例2輸出】
1 2 3

這道題很明顯要讓咱們判斷任意兩條線段是否相交，這就要用到剛剛講到的叉積的第一種用法了!

很明顯，相交有兩種狀況，相交且穿過和相交但不穿過（以下圖）

咱們首先先討論第一種狀況，如何判斷兩條直線相交且穿過？

如上圖，先假設兩條直線爲L1和L2，每條直線的兩個端點分別爲p1和p2，那麼若是以
L1.p1爲一個參考點，若是L1.p2在L2.p1與L2.p2中間；再以L2.p1爲參考點，若是L2.p2在L1.p1與L1.p2中間，那麼就能夠判斷L1與L2相交且穿過（以下圖）

這種狀況很是好理解吧，下一種狀況就更加簡單了，僅需討論哪三個點在一條「直線」上（畢竟不穿過，因此必有三點共線），而後判斷一下
不穿過的那個點是否在一條「線段」上（以下圖）

具體代碼以下

double check(line l1,line l2)//判斷是否相交 
{
    if(multi(l2.p1,l1.p2,l1.p1)*multi(l1.p2,l2.p2,l1.p1)>0)//判斷以L1.p1爲基準，L1.p2是否在L2.p1與L2.p2中間
    if(multi(l1.p1,l2.p2,l2.p1)*multi(l2.p2,l1.p2,l2.p1)>0)//判斷以L2.p1爲基準,L2.p2是否在L1.p1與L2.p2中間
    return true;//大部分狀況下，能判斷兩直線相交   
    if(multi(l1.p1,l1.p2,l2.p1)==0)if(mymin(l1.p1.x,l1.p2.x)<=l2.p1.x)if(mymax(l1.p1.x,l1.p2.x)>=l2.p1.x)if(mymin(l1.p1.y,l1.p2.y)<=l2.p1.y)if(mymax(l1.p1.y,l1.p2.y)>=l2.p1.y)return true;
    if(multi(l1.p1,l1.p2,l2.p2)==0)if(mymin(l1.p1.x,l1.p2.x)<=l2.p2.x)if(mymax(l1.p1.x,l1.p2.x)>=l2.p2.x)if(mymin(l1.p1.y,l1.p2.y)<=l2.p2.y)if(mymax(l1.p1.y,l1.p2.y)>=l2.p2.y)return true;
    if(multi(l2.p1,l2.p2,l1.p1)==0)if(mymin(l2.p1.x,l2.p2.x)<=l1.p1.x)if(mymax(l2.p1.x,l2.p2.x)>=l1.p1.x)if(mymin(l2.p1.y,l2.p2.y)<=l1.p1.y)if(mymax(l2.p1.y,l2.p2.y)>=l1.p1.y)return true;
    if(multi(l2.p1,l2.p2,l1.p2)==0)if(mymin(l2.p1.x,l2.p2.x)<=l1.p2.x)if(mymax(l2.p1.x,l2.p2.x)>=l1.p2.x)if(mymin(l2.p1.y,l2.p2.y)<=l1.p2.y)if(mymax(l2.p1.y,l2.p2.y)>=l1.p2.y)return true;
    //判斷兩條直線相交且一條直線端點在另外一條直線上 
    return false;
}

在以前的版本里，我在判斷兩條直線相交且一條直線端點在另外一條直線上的狀況中忽略了兩條直線互相一條與x軸垂直，一條與y軸垂直，且某一條延伸出去剛好交於另外一條直線交點的狀況，因而在一次比賽中WA了十多發QwQ，下面放上錯誤代碼以做爲警示：

double check(line l1,line l2)//判斷是否相交 
{
    if(multi(l2.p1,l1.p2,l1.p1)*multi(l1.p2,l2.p2,l1.p1)>0)//判斷以L1.p1爲基準，L1.p2是否在L2.p1與L2.p2中間
    if(multi(l1.p1,l2.p2,l2.p1)*multi(l2.p2,l1.p2,l2.p1)>0)//判斷以L2.p1爲基準,L2.p2是否在L1.p1與L2.p2中間
    return true;//大部分狀況下，能判斷兩直線相交   if(multi(l2.p1,l1.p1,l1.p2)==0)if(mymin(l1.p1.x,l1.p2.x<=l2.p1.x)if(mymax(l1.p1.x,l1.p2.x)>=l2.p1.x)return true;
    if(multi(l2.p2,l1.p1,l1.p2)==0)if(mymin(l1.p1.x,l1.p2.x<=l2.p2.x)if(mymax(l1.p1.x,l1.p2.x)>=l2.p2.x)return true;
    if(multi(l1.p1,l2.p1,l2.p2)==0)if(mymin(l2.p1.x,l2.p2.x<=l1.p1.x)if(mymax(l2.p1.x,l2.p2.x)>=l1.p1.x)return true;
    if(multi(l1.p2,l2.p1,l2.p2)==0)if(mymin(l2.p1.x,l2.p2.x<=l1.p2.x)if(mymax(l2.p1.x,l2.p2.x)>=l1.p2.x)return true;
    //判斷兩條直線相交且一條直線端點在另外一條直線上 
    return false;
}

主程序就很簡單了，一條一條邊讀入，讀入第i條邊時判斷他與前i-1條邊是否相交，若相交，這以前的邊j被蓋住，判斷數組bo【j】=1。最後統計bo【i】==0的邊就好啦
附上完整代碼：

#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node//定義一個點 
{
        double x,y;
};

struct line//定義一條線 
{
    node p1,p2;
} list[11000];

int a[11000]={0};
bool bo[11000]={0};
int i,j,k,m,n,o,p,js,jl,jk,len;

    //================================
double mymax(double x,double y)//求max 
{
    if(x>y)return x;
    else return y;
}

double mymin(double x,double y)//求min 
{
    if(x<y)return x;
    else return y;
}

    //=================================

double multi(node p1,node p2,node p0)//計算叉積：並且值爲三點構成三角形的面積的兩倍 
{
    double x1,y1,x2,y2;
    x1=p1.x-p0.x;
    y1=p1.y-p0.y;
    x2=p2.x-p0.x;
    y2=p2.y-p0.y;
    return x1*y2-x2*y1;
}

double check(line l1,line l2)//判斷是否相交 
{
    if(multi(l2.p1,l1.p2,l1.p1)*multi(l1.p2,l2.p2,l1.p1)>0)//判斷以L1.p1爲基準，L1.p2是否在L2.p1與L2.p2中間
    if(multi(l1.p1,l2.p2,l2.p1)*multi(l2.p2,l1.p2,l2.p1)>0)//判斷以L2.p1爲基準,L2.p2是否在L1.p1與L2.p2中間
    return true;//大部分狀況下，能判斷兩直線相交   
    if(multi(l1.p1,l1.p2,l2.p1)==0)if(mymin(l1.p1.x,l1.p2.x)<=l2.p1.x)if(mymax(l1.p1.x,l1.p2.x)>=l2.p1.x)if(mymin(l1.p1.y,l1.p2.y)<=l2.p1.y)if(mymax(l1.p1.y,l1.p2.y)>=l2.p1.y)return true;
    if(multi(l1.p1,l1.p2,l2.p2)==0)if(mymin(l1.p1.x,l1.p2.x)<=l2.p2.x)if(mymax(l1.p1.x,l1.p2.x)>=l2.p2.x)if(mymin(l1.p1.y,l1.p2.y)<=l2.p2.y)if(mymax(l1.p1.y,l1.p2.y)>=l2.p2.y)return true;
    if(multi(l2.p1,l2.p2,l1.p1)==0)if(mymin(l2.p1.x,l2.p2.x)<=l1.p1.x)if(mymax(l2.p1.x,l2.p2.x)>=l1.p1.x)if(mymin(l2.p1.y,l2.p2.y)<=l1.p1.y)if(mymax(l2.p1.y,l2.p2.y)>=l1.p1.y)return true;
    if(multi(l2.p1,l2.p2,l1.p2)==0)if(mymin(l2.p1.x,l2.p2.x)<=l1.p2.x)if(mymax(l2.p1.x,l2.p2.x)>=l1.p2.x)if(mymin(l2.p1.y,l2.p2.y)<=l1.p2.y)if(mymax(l2.p1.y,l2.p2.y)>=l1.p2.y)return true;
    //判斷兩條直線相交且一條直線端點在另外一條直線上 
    return false;
}
    //==================================
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf%lf%lf",&list[i].p1.x,&list[i].p1.y,&list[i].p2.x,&list[i].p2.y);
    for(int i=1;i<n;i++)
    for(int j=i+1;j<=n;j++)
    {
        if(check(list[i],list[j]))//判斷相交 
        {
            bo[i]=1;
            break;
        }
    }
    len=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)if(bo[i]==0)a[++len]=i;
    for(int i=1;i<len;i++)printf("%d ",a[i]);
    printf("%d\n",a[len]);
    return 0;
}

【caioj 1213 面積】

題目描述
【題意】
在一個平面座標系上隨意畫一條有n個點的封閉折線（按畫線的順序給出點的座標），保證封閉折線的任意兩條邊都不相交。最後要計算這條路線包圍的面積。

【輸入格式】
第一行整數 n (3 <= n <= 1000),表示有n個點。
下來n行，每行兩個整數x（橫座標）和y（縱座標），表示點座標（-10000<x,y<=10000）。
【輸出格式】
一行一個實數，即封閉折線所包圍的面積（保留4位小數）。
【樣例1輸入】
4
2 1
5 1
5 5
2 5
【樣例1輸出】
12.0000
【樣例2輸入】
5
2 1
5 1
3 2
5 3
2 3
【樣例2輸出】
4.0000

這道題對比上一道題就簡單不少了，這道題要用到叉積的第二種用法——計算面積！對於任意一個多邊形，只要以一號點p1爲參考點，枚舉任意兩個相鄰的點pi和pi-1（i>=3）,帶符號計算p1和pi、pi-1所構成的三角形的面積（multi（pi，pi-1，p1）/2），累加取絕對值就是答案了。

至於爲何要帶符號運算，請看我用下面這幅圖演示

對於這個多邊形，首先先加上multi(p3,p2,p1)/2的值（因爲p3在p2的逆時針方向，因此爲正）即爲加上了紅色部分
而後再加上multi(p4,p3,p1)/2的值（因爲p4在p3的順時針方向，因此爲負）即爲減去了綠色部分

而後再加上multi(p5,p4,p1)/2的值（因爲p5在p4的逆時針方向，因此爲正）即爲加上了黃色部分，就是答案了

最後附上代碼

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct node
{
    double x,y;
}a[11000];

int i,j,k,m,n,o,p,js,jl;
double ans;

double multi(node p1,node p2, node p0)
{
    double x1=p1.x-p0.x;
    double y1=p1.y-p0.y; 

    double x2=p2.x-p0.x;
    double y2=p2.y-p0.y;

    return(x1*y2-x2*y1); 
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);

    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        ans=ans+multi(a[i],a[i-1],a[1]);
    }
    ans=ans/2.0;
    if(ans<0)ans=-ans;

    printf("%0.4lf",ans);
    return 0;
}

結語

經過上面的學習和例題，是否是已經初步瞭解了計算幾何的一點點精（皮）髓（毛）呢，但願你能有所收穫，在計算幾何的路上越走越遠吧（蒟蒻的我多是走不下去了） 最後Orz各位大佬，寫的很差請各位神犇提出建議和意見，感謝你的閱讀:neckbeard: