LeetCode.837 - 新21點

題目

愛麗絲參與一個大體基於紙牌遊戲 「21點」 規則的遊戲，描述以下：愛麗絲以 0 分開始，並在她的得分少於 K 分時抽取數字。 抽取時，她從 [1, W] 的範圍中隨機得到一個整數做爲分數進行累計，其中 W 是整數。 每次抽取都是獨立的，其結果具備相同的機率。
當愛麗絲得到很多於 K 分時，她就中止抽取數字。 愛麗絲的分數不超過 N 的機率是多少？
示例
  輸入：N = 6, K = 1, W = 10
  輸出：0.60000
  說明：愛麗絲獲得一張卡，而後中止。
  在 W = 10 的 6 種可能下，她的得分不超過 N = 6 分。

解法：動態規劃

令 dp[x] 表示從分數爲 x 的狀態開始遊戲，最終得分不超過 N 的機率。則本題的目的是求 dp[0].
考慮到不超過K的最高得分爲 K-1，因爲分數超過 K 就結束遊戲，而從當前的 K-1 分再抽一次數字不小於 K 且不超過 N 的分數區間爲 [K, min(N, K + W - 1)]。這裏min在兩種狀況中取小：1)像示例中的抽W=10的前6種可能分數不會超過N；2)在 K-1 的狀態下即便抽到最大的點數W也不會超過N。
這樣，當 \(K \leq x \leq \min (N, K+W-1)\) 讓dp[x]=1，\(x>\min (N, K+W-1)\) 讓dp[x]=0。基於此，能夠獲得 \(0 \leq x < K\) 時的轉移方程：

\[dp[x] = \frac{dp[x+1] + dp[x+2] + dp[x+W]}{W} \]

能夠在每次計算 dp[x]的時候從 dp[x+1] 累加到 dp[x+W]，但這中間顯然存在重複計算。所以能夠簡化一下計算，對dp的相鄰項作差：

\[dp[x]-dp[x+1]=\frac{dp[x+1]-dp[x+W+1]}{W} \]

這樣就獲得新的轉移方程：

\[dp[x]=dp[x+1] + \frac{dp[x+1]-dp[x+W+1]}{W} \]

注意 \(0 \leq x <K-1\)
因此這裏dp[K-1]須要單獨計算一下：
因爲只有當 \(K \leq x \leq \min (N, K+W-1)\) 時 dp[x]=1，因此很容易獲得\(dp[K-1] = \frac{min(N, K + W - 1) - (K-1)}{W} = \frac{min(N-K+1, W)}{W}\)

class Solution {
    public double new21Game(int N, int K, int W) {
        if(K == 0) return 1.0;
        
        double[] dp = new double[K + W];
        for(int i = K; i <= N && i < K + W; i++){
            dp[i] = 1.0;
        }
        dp[K - 1] = 1.0 * Math.min(N - K + 1, W) / W;  // 注意 * 1.0 作類型轉換
        for(int i = K - 2; i >= 0; i--){
            dp[i] = dp[i + 1] - (dp[i + 1 + W] - dp[i + 1]) / W;
        }
        return dp[0];
    }
}