149.集合論

集合論是研究集合通常性質的數學分支，它的創始人是康托爾 現代數學中，每一個對象(如數，函數等)本質上都是集合，均可以用某種集合來定義，數學的各個分支，本質上都是在研究某種對象集合的性質。集合論已成爲現代所有數學的理論基礎。 集合論的特色是研究對象的普遍性，它總結出由各類對象構成的集合的共同性質，並用統一的方法來處理。所以，集合論被普遍地應用於各類科學和技術領域。 因爲集合論的語言適合於描述和研究離散對象及其關係，因此它也是計算機科學與工程的理論基礎，並且在程序設計，數據結構，形式語言，關係數據庫，操做系統等都有重要應用。

 

1.集合

1.1定義

集合：具備某種特殊性質的客體的聚合。

集合用大寫的字母標記，
例如：A、B、C……

元素：屬於任何集合的任何客體。

元素用小寫字母標記，
例如：a、b、c、……

 

注意：

①元素與集合間的關係： 若 a 是集合 S 中的元素，則可寫成 a∈ S ；

　若b不是集 S 閤中的元素，則可寫成 b∈ S 。

②集合 S 的基數(勢)：S中的元素個數。記爲 |S| .

③有限集合：集合的基數（元素）是有限的。

    無限集合：集合的基數（元素）是無限的。

 

經常使用集合符：

I_m (m≥1)         有限個正數的集合{1,2,3……m}

N_m (m≥0)        有限個天然數的集合{0,1,2……m}

以上是有限集合,下面是無限集合：

N      天然數集合{0,1,2……}

I+     正整數集合{1,2,3……}

I       整數集合 {……-1,0,1,2……}

P      素數集合 {大於1的正整數，只能被1和本身整除}

Q      有理數集合{  i/j.  i、j均爲整數且 j≠0 }

R      實數集合 {有理數、無理數}

C      複數集合{a + bi，a、b可爲實數 i = √-1 }

 

1.2集合的表示法

(1) 列舉法  (將元素一一列出)

(2) 描述法  (用謂詞歸納元素的屬性)

　　全部集合都可用謂詞公式來表示 

　　　　注：同一集合能夠用多種不一樣的形式表示。集合也可做爲某一集合的元素。例如：S={ a，{1,2}，p，{q} }

(3) 文氏圖  文氏圖的畫法規則：規定矩形表示E。子集用圓畫在E中。

　　　　文氏圖應用：（a）表示集合和運算的關係，可用文氏圖畫出各類運算（b）證實集合恆等式

 

1.3集合間的關係

（1）B爲A的子集 B⊆A ；B爲A的真子集 B⊂A
　　  B⊆A⇔∀x(x∈B→x∈A)     B⊄A⇔∃x(x∈B∧x∉A)
（2）集合A，B相等A=B     A=B⇔A⊆B∧B⊆A
（3）對任意集合A有A⊆A
（4）對任意集合A，有∅⊆A⊆E

 

1.4特殊集合：空集、全集合、集合族

 

全集：若是一個集合包含了所要討論的每個集合，則稱該集合爲全集合，簡稱全集，用 E表示。

E={x | P(x)∨ ¬P(x) } P(x)爲任何謂詞公式.

 

空集：不擁有任何元素的集合稱爲空集（或稱零集），用Ø表示，

Ø ={x | P(x)∧¬P(x) } = { }

注意：Ø ≠ {Ø} 前者是空集，是沒有元素的集合；後者是以Ø做爲元素的集合。

 

集合族：集合中的元素均爲集合，稱這樣的集合爲集合族。

例如A={{a}，{b}，{c、d}}

 

冪集：設A是集合，以A的全部子集做爲元素的集合稱爲A的冪集。記做 ρ(A) 或 2^A ,

且有：ρ(A) = {x | x ∈A}   例如：若A1={a}，則 ρ(A1)={Φ ，{a}} 若A3=Ø，則  ρ(A3)={Ø}

討論定義：

(a) 集合的元素個數稱爲集合的「基數」或叫「勢」    |ρ(S)|=2 ^|s| 爲冪集ρ(S)的基數

(b) 若A爲有限集合，則ρ(A)也爲有限集合。若A爲無限集合，則ρ(A)也爲無限集合。

(c) 必定有A∈ρ(A)，Ø∈ρ(A)，即對非空集合A，在冪集中至少有兩個子集Ø和A。

 

索引集合：爲了在計算機上表示集合，必須給每個集合的元素加上標記，以用來表示元素在集合中的位置。

例如：S={a，b} 假設集合S中，a , b的位置已經固定。

則用二進制下標法來表示S的全部子集： Ø ={ }=B₀₀，{a}=B₁₀，{b}=B₀₁，{a，b}=B₁₁

這樣ρ(S)={B₀₀，B₀₁，B₁₀，B₁₁}={B_i | i ∈ J}

其中J={00，01，10，11} （索引集合或指標集合）

 

笛卡爾乘積

一、定義

設A，B爲二個任意集合，若序偶的第一個成員（左元素）是A的一個元素，序偶的第二個成員（右元素）是B的一個元素，則全部這樣的序偶的集合稱爲A和B的笛卡爾乘積。

記做：A×B = {〈x，y〉|  (x ∈A) ∧ (y ∈B)  }       「×」不知足結合律。

 

n個集合的笛卡兒乘積的定義：

A₁×A₂×...×A_n={⟨x₁,x₂,⋯,x_n ⟩|x₁∈A₁∧x₂∈A₂∧⋯∧x_n∈A_n 

當時A₁=A₂=⋯=A_n=A時，記爲 Aⁿ 

 A={a,b}    A²={⟨a,a⟩,⟨a,b⟩,⟨b,a⟩,⟨b,b⟩}

 

二、笛卡兒積運算對∪和 ∩ 知足分配律

若A，B，C是三個集合，則有：

A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)

(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)

A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)

(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)

注意：  

（1）若A是m元集，B是n元集，則A×B爲mn元集

（2）笛卡兒積是集合，有關集合的運算都適合。

（3）笛卡兒積不知足交換律，即 A×B ≠ B×A.

（4）笛卡兒積不知足結合律，即 （A×B）×C ≠ A×（B×C）

 

 

 1.5 集合的運算

 集合運算律