LLRB——紅黑樹的現代實現

時間 2019-12-11

標籤 llrb 現代實現简体版

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1、本文內容

以一種簡明易懂的方式介紹紅黑樹背後的邏輯實現2-3-4樹，以及紅黑樹的插入、刪除操做，重點在2-3-4樹與紅黑樹的對應關係上，並理清紅黑樹相關操做的前因後果。拋棄以往復雜的實現，而分析紅黑樹的一種簡單實現LLRB。

2、算法應用

紅黑樹，給人以強烈的第一聽覺衝擊力——紅與黑，好像很高端的感受。事實上的確如此，紅黑樹是一種高級數據結構，在C++、Java的標準庫裏做爲set、map的底層數據結構實現，以及linux中進程的公平調度。

3、2-3-4樹

標題是紅黑樹，爲何講2-3-4樹？由於紅黑樹就是2-3-4樹的一種等價形式，更準確地來講，咱們用紅黑樹來完成2-3-4樹的各類操做（如插入、刪除）。緣由就是2-3-4樹的實現即維護太麻煩。因此理解2-3-4樹才能真正理解紅黑樹。而歷史就是這麼發展的，瞭解過去，如今的一切纔有了意義。算法導論關於紅黑樹這一節就忽略了這一點，讓人知其然而不知其因此然。

OK，暫時先忽略複雜的紅黑樹，從簡單的2-3-4樹開始。

一、定義

2-3-4樹是一種泛化的BST，它的每一個結點容許1,2或者3個鍵(key)，那麼對應的有三種結點：

2-node：一個key，兩個孩子；

3-node：二個key，三個孩子；

4-node：三個key，四個孩子。

注：k-node表示有k個連接（link）。泛化的BST還有2-3樹，B樹等。

從圖中能夠看出2-3-4樹的另外一個性質：它是徹底平衡的（等高），即從根結點到葉子結點距離相等。

二、插入操做

2-3-4樹自己就是一種查找樹（中序遍歷有序），故其查找操做同二叉查找。

2-3-4樹的插入操做相似二叉查找樹，先是查找操做失敗（從根結點查找到葉子結點），而後在底部的葉子結點插入。

由於2-3-4樹的結點有三種類型，因此操做有點差別。對於2-node和3-node，分別直接插入可變成3-node，4-node；可是對於4-node若直接插入則違反了定義。在4-node插入以前，先分裂4-node成2個2-node，再將待插入的key插入對應的2-node。以下圖，H查找失敗，在H插入4-node（由三個key F、G、J組成）以前，先對該4-node分裂（將三個key的中間值提上父節點，剩餘的二個key分別做爲中間key的左右孩子），而後再將H插入2-node J中。這樣操做的結果是查找到達底部葉子結點時，始終是2-node或者3-node。

插入算法思想：自下而上的算法由原做者Bayer在1972年提出，自上而下的算法由Guibas-Sedgewick（紅黑樹這個名字來源於他們）在1978年提出，而後30年後也就是2008年Sedgewick教授又改進了紅黑樹的操做，也就是後面要介紹的LLRB。

自上而下的算法思路是，從根結點向下的查找過程當中，遇到4-node就分裂，最後在底部的葉子結點插入。

那麼爲何遇到4-node就分裂呢？4-node不是2-3-4樹的一種合法結點類型嗎？

答案能夠從後面LLRB的算法思路能夠得出。

由於遇到4-node就分裂就保證了當前結點不是4-node，則分裂孩子的4-node有兩種情形：

分裂4-node的case 1

分裂4-node的case 2

注：上面的變換在樹中任意位置都成立。

下面兩張圖是完整的插入過程（只有分裂結點類型爲4-node的根結點纔會致使樹高增1）：

三、平衡性分析

2-3-4樹的樹高在最壞狀況下爲lgN（全部結點都是2-node型），最好狀況下爲lg4 N = 1/2 lgN（全部結點都是4-node型），2-3-4樹的查找、插入操做都是lgN。

4、紅黑樹

終於到了高富帥——紅黑樹。。。

從2-3-4樹的介紹能夠看出，對2-node、3-node、4-node的不一樣數據類型進行轉換，但所涉及的大部分任務使用這種直接的表示方法來實現並不方便。因此能夠用

一種統一的方式完成轉換，而只需很小的開銷。這就是紅黑樹存在的意義，既有BST的標準搜索過程，又有2-3-4樹的簡單插入平衡過程。

下面介紹LLRB（Left-leaning red-black trees），而不是標準的紅黑樹。

一、定義

LLRB有三個特色：

（1）用BST來表示2-3-4樹；

（2）用紅邊(紅連接)來鏈接2-node來表示3-node和4-node（以下圖）；

（3）3-node必須是向左傾斜的（二者的大者做爲根）。

LLRB相對於標準的RB多了特色3，在標準的RB中右向傾斜的紅連接是容許的。對於特色2，在物理上用一個bit（紅或黑）來存儲以表示指向該結點的紅連接。

紅連接來鏈接3-node或者4-node的內部key，而黑連接則鏈接外部的key；爲了理解，能夠消除紅連接並將它們鏈接的結點都摺疊起來（即將看作紅連接連

接的點縮爲一個點），則能夠看出黑連接個數不變。

2-3-4樹與紅黑樹是一一對應的關係

且上下關係中不容許2個連續的紅邊

由特色3能夠推出LLRB的一個特性，紅黑樹與2-3-4樹一一對應。

二、插入算法

一樣地，在LLRB中查找操做同BST。

在插入以前要知道一個操做：旋轉。它有兩種狀況：左旋，右旋。

左旋右旋

插入算法思路：即前面介紹的2-3-4樹

具體實現時，插入一個結點時，始終是紅結點，即用紅邊連接該結點。對於2-node、3-node直接插入（k-node有k個插入點），如違反上面的左紅連接和連續的紅連接，則旋轉做調整。對於4-node（左右都爲紅連接），先分裂，物理實現是一個翻轉（左右紅連接變黑，父連接變紅）。

2-node插入的兩種case

3-node插入的三種case

4-node分裂操做

由4-node的分裂可知黑高度不變，分裂操做即翻轉在圖片上對應爲紅連接向上傳遞。

在介紹2-3-4樹時，4-node分裂操做有兩種狀況，4-node的parent是2-node和3-node；再結合k-node有k個插入點，則總共有6種狀況。

4-node的分裂case 1

4-node的分裂case 2

看了上面兩幅圖後，也許會讓人以爲紅黑樹太複雜了，這麼多case，其實否則，在LLRB實現中只有兩種操做：旋轉、翻轉。旋轉的目的是保持平衡，翻轉的目的是分裂4-node。

看了下面的LLRB插入算法，你就會明白上面4-node的翻轉、旋轉實際上是分開的兩個過程（翻轉自上而下，旋轉自下而上），只是爲了統一這個完整的過程而畫在了一塊兒，纔會有那麼多case。

LLRB的插入算法：

首先結合2-3-4樹的插入算法思路，先自上至下查找（遇到4-node則翻轉），而後在底部葉子結點插入，由於在自上至下的過程當中，可能會產生不知足LLRB的性質的狀況，故插入結點後須要自下至上調整以恢復LLRB性質。

下圖是插入算法的核心代碼，第2是分裂即翻轉，第1是插入操做，第三、4是調整。

從插入算法能夠看出，若是自下而上再分裂4-node，則會出現它的parent也多是4-node，祖父結點也多是4-node；咱們能夠一直向上分裂，這也正是上面提到的自下而上的思路（原做者：Bayer）；而更簡單的方法是，在沿樹向下的過程當中，遇到4-node就分裂，這也正是自上而下與自下而上的區別。

插入算法的核心代碼

上圖的核心代碼按照自上而下和自下而上的順序放入BST的插入（遞歸版本）操做中即獲得下圖的完整的插入算法。

注：分裂（即翻轉）是自上而下，因此放在遞歸以前；調整（即旋轉）是自下而上，因此放在遞歸以後。

完整的插入代碼

若是將分裂操做放到遞歸以後，也就是先自上而下查找，插入結點，而後自下而上調整也可一樣完成插入操做而不破壞LLRB的性質。

2-3樹的插入操做

其實上述描述的就是2-3樹的插入操做，它與2-3-4樹的插入的區別在於：2-3樹先插入，再分裂（down）、調整（up）；2-3-4樹先分裂（down），再插入、調整（up）。又由於插入老是在最後一層進行，故翻轉的位置決定了對應樹的實現。

這也是爲何2-3-4樹叫top-down，而2-3樹叫bottom-up。

三、刪除算法

LLRB的刪除相似於插入，只不過處理恰好相反。插入、刪除都有臨界點：插入4-node，刪除2-node，對臨界點的操做都會引發突變，由於它們會破壞LLRB的性質(黑高度)。

因此同插入同樣，先從上至下查找，若是查找在3-node或4-node結束，則直接刪除；

3-node和4-node的刪除