做者:LogMsegmentfault
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本文爲機率論與數理統計的筆記。數學
11. 第十一週
- 11.1 整體,樣本
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11.2 經常使用統計量變量
- 樣本均值:$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$
- 樣本方差:$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}{n}(X_i - \overline X)^2$
- 樣本 $k$ 階矩:$A_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^k$
- 樣本 $k$ 階中心矩:$B_k = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\overline X)^k$
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11.3 抽樣分佈技巧
- 正態分佈
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$\chi^2$ 分佈(卡方分佈)im
- 定義:n個服從標準正態分佈 $N(0,1)$ 的隨機變量相互獨立,則稱 $\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} X_i^2$ 服從自由度爲 $n$ 的 $\chi^2$ 分佈,記爲$\chi^2 \sim \chi^2(n)$
- 機率密度:$f_n(x) = \left \{\begin{matrix} \frac{2}{2\Gamma(n/2)}(\frac{n}{2})^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} & ,x>0 \\ 0 & ,x \leq 0 \end {matrix} \right.$,其中 $\Gamma(\alpha) = \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1}e^{-x}dx$
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性質:統計
- $E(\chi^2) = n$
- $D(\chi^2) = 2n$
- 若 $Y_1 \sim \chi^2(n_1)$,$Y_2 \sim \chi^2(n_2)$,且互相獨立,則 $Y_1+Y_2 \sim \chi^2(n_1+n_2)$
- 上 $\alpha$ 分位數:給定 $\alpha$,$0< \alpha <1$,稱知足條件 $P(\chi^2>\chi^2_a(n)) = \alpha$ 的點 $\chi^2_a(n)$ 爲 $chi^2(n)$ 分佈的上 $\alpha$ 分位數
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$t$ 分佈co
- 定義:$X \sim N(0,1)$,$Y \sim \chi^2(n)$,相互獨立,則稱 $T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服從自由度爲 $n$ 的 $t$ 分佈,記爲$T \sim t(n)$
- 上 $\alpha$ 分位數:$t_{1-\alpha}(n) = -t_{\alpha}(n)$
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$F$ 分佈ps
- 定義:$X \sim \chi^2(n_1)$,$Y \sim \chi^2(n_2)$,相互獨立,則稱 $F = \frac{X/n_1}{Y/n_2}$ 服從自由度爲 $(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分佈,記爲$F \sim F(n_1,n_2)$
- 上 $\alpha$ 分位數:$F_{1-\alpha}(n_1,n_2) = \frac{1}{F_{\alpha}(n_1,n_2)}$
12. 第十二週
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12.1 單個正態整體的抽樣分佈
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設整體 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$,$X_1$,$X_2$,$...$,$X_n$ 是樣本,樣本均值 $\overline X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i$,樣本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\overline X)^2$,則:
- $\overline X \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$
- $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$,且 $\overline X$ 與 $S^2$ 相互獨立
- $\frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
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設整體 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$,$X_1$,$X_2$,$...$,$X_n$ 是樣本,樣本均值 $\overline X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i$,樣本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\overline X)^2$,則:
- $\frac{\overline X - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$
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12.2 兩個正態整體的抽樣分佈
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12.3 矩估計
- 理論依據:大數定律和依機率收斂
- 作法:用原點矩或中心矩來估計參數,好比用樣本的指望和方差估計參數
13. 第十三週
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13.1 極大似然估計
- 似然函數(離散型):$L(\theta) = \Pi_{i=1}^{n} p(x_i;\theta)$
- 似然函數(連續型):$L(\theta) = \Pi_{i=1}^{n} f(x_i;\theta)$
- 常取 $ln$,再利用倒數爲0求解
- 性質:若 $\hat{\theta}$ 爲 $\theta$ 的極大似然估計,則 $g(\hat{\theta})$ 爲 $g(\theta)$ 的極大似然估計
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13.2 估計量的評價標準
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無偏性準則
- 當估計量的指望 $E(\hat{\theta}) = \theta$,則估計是無偏的,保證估計沒有系統誤差
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有效性準則
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均方偏差準則
- $Mse(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta} - \theta)^2$
- 當無偏估計時,$Mse({\hat{\theta}}) = D(\hat{\theta})$
- 均方偏差越小越優(比無偏性準則更重要)
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相合性準則
- 相合性估計量(一致性估計量):隨着樣本n的增長,$\hat{\theta}$ 能夠依機率收斂到 $\theta$