Java編程的邏輯 (4) - 整數的二進制表示與位運算

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上節咱們提到正整數相乘的結果竟然出現了負數，要理解這個行爲，咱們須要看下整數在計算機內部的二進制表示。

十進制

要理解整數的二進制，咱們先來看下熟悉的十進制。十進制是如此的熟悉，咱們可能已忽略了它的含義。好比123，咱們不假思索就知道它的值是多少。

但其實123表示的1*(10^2) + 2*(10^1) + 3*(10^0)，(10^2表示10的二次方)，它表示的是各個位置數字含義之和，每一個位置的數字含義與位置有關，從右向左，第一位乘以10的0次方， 即1，第二位乘以10的1次方，即10，第三位乘以10的2次方，即100，依次類推。

換句話說，每一個位置都有一個位權，從右到左，第一位爲1，而後依次乘以10，即第二位爲10，第三位爲100，依次類推。

正整數的二進制表示

正整數的二進制表示與此相似， 只是在十進制中，每一個位置能夠有10個數字，從0到9，但在二進制中，每一個位置只能是0或1。位權的概念是相似的，從右到左，第一位爲1，而後依次乘以2，即第二位爲2，第三位爲4，依次類推。

看一些數字的例子吧：

二進制	十進制
10	2
11	3
111	7
1010	10

負整數的二進制表示

十進制的負數表示就是在前面加一個負數符號-，例如-123。但二進制如何表示負數呢？

其實概念是相似的，二進制使用最高位表示符號位，用1表示負數，用0表示正數。

但哪一個是最高位呢？整數有四種類型，byte/short/int/long，分別佔1/2/4/8個字節，即分別佔8/16/32/64位，每種類型的符號位都是其最左邊的一位。

爲方便舉例，下面假定類型是byte，即從右到左的第8位表示符號位。

但負數表示不是簡單的將最高位變爲1，好比說：

• byte a = -1，若是隻是將最高位變爲1，二進制應該是10000001，但實際上，它應該是11111111。
• byte a=-127，若是隻是將最高位變爲1，二進制應該是11111111，但實際上，它卻應該是10000001。 

和咱們的直覺正好相反，這是什麼表示法？這種表示法稱爲補碼錶示法，而符合咱們直覺的表示稱爲原碼錶示法，補碼錶示就是在原碼錶示的基礎上取反而後加1。取反就是將0變爲1，1變爲0。

負數的二進制表示就是對應的正數的補碼錶示，好比說：

• -1：1的原碼錶示是00000001，取反是11111110，而後再加1，就是11111111。
• -2：2的原碼錶示是00000010，取反是11111101，而後再加1，就是11111110。
• -127：127的原碼錶示是01111111，取反是10000000，而後再加1，就是10000001。 

給定一個負數二進制表示，要想知道它的十進制值，能夠採用相同的補碼運算。好比：10010010，首先取反，變爲01101101，而後加1，結果爲01101110，它的十進制值爲110，因此原值就是-110。直覺上，應該是先減1，而後再取反，但計算機只能作加法，而補碼的一個良好特性就是，對負數的補碼錶示作補碼運算就能夠獲得其對應整數的原碼，正如十進制運算中負負得正同樣。

byte類型，正數最大表示是01111111，即127，負數最小表示（絕對值最大）是10000000，即-128，表示範圍就是 -128到127。其餘類型的整數也相似，負數能多表示一個數。

負整數爲何採用補碼呢？

負整數爲何要採用這種奇怪的表示形式呢？緣由是：只有這種形式，計算機才能實現正確的加減法。

計算機其實只能作加法，1-1實際上是1+(-1)。若是用原碼錶示，計算結果是不對的。好比說：

1  -> 00000001
-1 -> 10000001
+ ------------------
-2 -> 10000010

用符合直覺的原碼錶示，1-1的結果是-2。

若是是補碼錶示：

1  -> 00000001
-1 -> 11111111
+ ------------------
0  ->  00000000 

結果是正確的。

再好比，5-3：

5  -> 00000101
-3 -> 11111101
+ ------------------
2  ->  00000010 

結果也是正確的。

就是這樣的，看上去可能比較奇怪和難以理解，但這種表示實際上是很是嚴謹和正確的，是否是很奇妙？

理解了二進制加減法，咱們就能理解爲何正數的運算結果可能出現負數了。當計算結果超出表示範圍的時候，最高位每每是1，而後就會被看作負數。好比說，127+1：

127   -> 01111111
1     -> 00000001
+ ------------------
-128  -> 10000000 

計算結果超出了byte的表示範圍，會被看作-128。

十六進制

二進制寫起來太長，爲了簡化寫法，能夠將四個二進制位簡化爲一個0到15的數，10到15用字符A到F表示，這種表示方法稱爲16進制，以下所示：

2進制	10進制	16進制
1010	10	A
1011	11	B
1100	12	C
1101	13	D
1110	14	E
1111	15	F

能夠用16進制直接寫常量數字，在數字前面加0x便可。好比10進制的123，用16進製表示是0x7B，即123 = 7*16+11。給整數賦值或者進行運算的時候，均可以直接使用16進制，好比：

int a = 0x7B;

Java中不支持直接寫二進制常量，好比，想寫二進制形式的11001，Java中不能直接寫，能夠在前面補0，補足8位，爲00011001，而後用16進製表示，即 0x19。

查看整數的二進制和十六進制表示

在Java中，能夠方便的使用Integer和Long的方法查看整數的二進制和十六進制表示，例如：

int a = 25;
System.out.println(Integer.toBinaryString(a)); //二進制
System.out.println(Integer.toHexString(a));  //十六進制
System.out.println(Long.toBinaryString(a)); //二進制
System.out.println(Long.toHexString(a));  //十六進制

位運算

位運算是將數據看作二進制，進行位級別的操做，Java不能單獨表示一個位，可是能夠用byte表示8位，能夠用16進制寫二進制常量。好比： 0010表示成16進制是 0x2, 110110表示成16進制是 0x36。

位運算有移位運算和邏輯運算。

移位有：

• 左移：操做符爲<<，向左移動，右邊的低位補0，高位的就捨棄掉了，將二進制看作整數，左移1位就至關於乘以2。
• 無符號右移：操做符爲>>>，向右移動，右邊的捨棄掉，左邊補0。
• 有符號右移：操做符爲>>，向右移動，右邊的捨棄掉，左邊補什麼取決於原來最高位是什麼，原來是1就補1，原來是0就補0，將二進制看作整數，右移1位至關於除以2。

例如：

int a = 4; // 100
a = a >> 2; // 001，等於1
a = a << 3 // 1000，變爲8

邏輯運算有：

• 按位與 &：兩位都爲1才爲1
• 按位或 |：只要有一位爲1，就爲1
• 按位取反 ~： 1變爲0，0變爲1
• 按位異或 ^ ：相異爲真，相同爲假

大部分都比較簡單，就不詳細說了。具體形式，例如：

int a = ...; 
a = a & 0x1 // 返回0或1，就是a最右邊一位的值。
a = a | 0x1 //無論a原來最右邊一位是什麼，都將設爲1

小結

本節咱們討論了整數的二進制表示，須要注意的就是負數的二進制表示，以及計算機進行二進制加減操做的過程，從而咱們就能理解爲何有的時候正整數計算會出現負數。

咱們一樣討論了整數的位運算，須要注意的就是無符號右移和有符號右移的區別。

理解了整數，那小數呢？

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