關於素數定理的一個延拓

一直以來，咱們老是在孜孜不倦地尋找素數的規律，可是，很難成功，咱們能夠把素數看做人類思想沒法滲透的祕密.

公元前3世紀，古希臘哲學家Eratosthenes提出了一個叫」過篩」的方法，作出了世界上第一張素數表，即按照素數的大小排列成表，把天然數按其大小一一寫上去，而後，按照下列法則把合數去掉：

把1去除，首先
把2留下，而後，把2的倍數去除
把3留下，而後，把3的倍數去除
把5留下，而後，把5的倍數去除

同理，繼續下去，直到把全部數要麼留下，要麼去除，這樣，若紙上最大的數是N，則上述法則能夠產生N之內素數的分佈表，經過表，咱們就能夠發現，隨着N的變大，素數會變得愈來愈稀疏.

例如：

1~10之間有4個素數，佔全體40%
1~100之間有25個素數，佔全體25%
1~1000之間有168個素數，佔全體16.8%
1~1000000之間有78498個素數，佔全體7.8%

咱們用π(N)來表示不大於天然數N的素數的個數，則：

π(2)=1

π(3)=2

π(10)=4

π(100)=25

π(1000)=168

π(10000)=1229

π(100000000)=5761455

π(1000000000)=50847534

π(10000000000)=455052511

1792年，Gauss猜想當N充分大時，有：

π(N)~N/lnN

能夠驗證：

Δπ(100)=4

Δπ(1000)=24

Δπ(10000)=144

Δπ(100000000)=332751

Δπ(1000000000)=2592590

Δπ(10000000000)=20757069

δπ(100)=0.16

δπ(1000)=0.14

δπ(10000)=0.1171

δπ(100000000)=0.05775

δπ(1000000000)=0.05098

δπ(10000000000)=0.045614

1808年，Legendre提議當N很大時，有：

π(N)~N/(lnN+B),B=-1.08366

1859年，Riemann的8頁紙論文：論不超過一個給定值的素數的個數，他把素數的分佈最終歸結爲所謂的Riemann ζ function之零點問題，即：

由級數ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+...(s爲復變數)所定義的Riemann ζ function，若s=a+bi，那麼，Riemann ζ function的全部零點，除了衆所周知的負整實數外，都位於複平面中a=1/2這條直線上.

1966年，關於陳景潤的證實：大偶數表爲一個素數及一個不超過二個素數的乘積之和，例如，100=23+7x11.

2002年，關於陶哲軒,格林的證實，存在任意長度的素數等差數列，即，由素數構成的等差數列能夠任意長，並且有任意多組，亦即，對於任意值K(例如，1億)，存在K個素數等差數列，K是一百億亦可，例如，3，5，7就是由3個素數構成的等差數列，長度爲3，目前，經過最早進的計算機發現的最長的素數等差數列長度是23，第一項是56211383760397，公差是44546738095860.

2013年，關於張益唐的證實：素數間的有界距離，即，存在無數個素數對(p,q)，其中每一對中的兩個素數之差，即，p和q的距離，不超過七千萬，即：SUP lim|Pn-Pn-1|<7x10^7(n->∞).

1742年，Goldbach致信Euler，提出2個猜測，以下：

1.任何一個大於2的偶數都是兩個素數之和，即，」1+1」

2.任何大於5的奇數都是3個素數之和

Euler回信表示,他相信這個猜測是正確的,但他不能證實,這個猜測便引發了許多數學家的注意，從Goldbach提出這個猜測至今,許多數學家都不斷努力想攻克它,但都沒有成功，固然曾經有人做了些具體的驗證工做,例如:

6=3+3,8=3+5,10=5+5=3+7,12=5+7,14=7+7=3+11,16=5+11,18=5+13

有人對33x108之內且大過6之偶數一一進行驗算,Goldbach猜測1都成立,但嚴格的數學證實尚待數學家的努力,今後,這道著名的數學難題引發了世界上成千上萬數學家的注意,200年過去了,沒有人證實它.Goldbach猜測由此成爲數學皇冠上一顆可望不可及的"明珠",人們對Goldbach猜測難題的熱情,歷經兩百多年而不衰,世界上許許多多的數學工做者,殫精竭慮,費盡心機,然而至今仍不得其解,到了20世紀20年代,纔有人開始向它靠近,1920年挪威數學家布朗用一種古老的篩選法證實,得出了一個結論：每個大的偶數均可以表示爲（99）,這種縮小包圍圈的辦法很管用,科學家們因而從（9十9）開始,逐步減小每一個數裏所含質數因子的個數,直到最後使每一個數裏都是一個質數爲止,這樣就證實了Goldbach猜測,目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證實的,稱爲陳氏定理：任何充分大的偶數都是一個質數與一個天然數之和,然後者僅僅是兩個質數的乘積,一般都簡稱這個結果爲大偶數可表示爲 「1+2」的形式,在陳景潤以前,關於偶數可表示爲s個質數的乘積與t個質數的乘積之和(簡稱「s+t」問題)之進展狀況以下:

1920年,挪威的布朗證實了「9+9」.
1924年,德國的拉特馬赫證實了「7+7」.
1932年,英國的埃斯特曼證實了「6+6」.
1937年,意大利的蕾西前後證實了「5+7」,「4+9」,「3+15」,「2+366」.
1938年,蘇聯的布赫夕太勃證實了「5+5」.
1940年,蘇聯的布赫夕太勃證實了「4+4」.
1948年,匈牙利的瑞尼證實了「1+c」,其中c是一很大的天然數.
1956年,中國的王元證實了「3+4」.
1957年,中國的王元前後證實了「3+3」,「2+3」.
1962年,中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩證實了「1+5」, 中國的王元證實了「1+4」.
1965年,蘇聯的布赫夕太勃,小維諾格拉多夫,意大利的朋比利證實了「1+3 」.
1966年,中國的陳景潤證實了「1+2 」.

布朗篩法的思路是這樣的：

即任一偶數能夠寫2n,這裏n是一個天然數,2n能夠表示爲n個不一樣形式的一對天然數之和：2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=...=n+n,在篩去不適合Goldbach猜測結論的全部那些天然數對以後,例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1,2,...;3j和(2n-3j),j=2,3,...;等等),若是可以證實至少還有一對天然數未被篩去,例如記其中的一對爲p1和p2,那麼p1和p2都是素數,即得n=p1+p2,這樣Goldbach猜測就被證實了.

前一部分的敘述是很天然的想法,關鍵就是要證實'至少還有一對天然數未被篩去',目前世界上誰都未能對這一部分加以證實,要能證實,這個猜測也就解決了,然而,因大偶數n（不小於6）等於其對應的奇數數列（首爲3,尾爲n-3）首尾挨次搭配相加的奇數之和,故根據該奇數之和以相關類型質數+質數（1+1）或質數+合數（1+2）（含合數+質數2+1或合數+合數2+2）（注：1+2 或 2+1 同屬質數+合數類型）在參與無限次的"類別組合"時,全部可發生的種種有關聯繫即1+1或1+2徹底一致的出現,1+1與1+2的交叉出現（不徹底一致的出現）,同2+1或2+2的"徹底一致",2+1與2+2的"不徹底一致"等狀況的排列組合所造成的各有關聯繫,就可導出的"類別組合"爲1+1,1+1與1+2和2+2,1+1與1+2,1+2與2+2,1+1與2+2,1+2等六種方式,由於其中的1+2與2+2,1+2 兩種"類別組合"方式不含1+1,因此1+1沒有覆蓋全部可造成的"類別組合"方式,即其存在是有交替的,至此,若可將1+2與2+2,以及1+2兩種方式的存在排除,則1+1得證,反之,則1+1不成立得證,然而事實倒是：1+2 與2+2,以及1+2（或至少有一種）是陳氏定理中（任何一個充分大的偶數均可以表示爲兩個素數的和,或一個素數與兩個素數乘積的和）,所揭示的某些規律（如1+2的存在而同時有1+1缺失的狀況）存在的基礎根據,因此1+2與2+2,以及1+2（或至少有一種）"類別組合"方式是肯定的,客觀的,也便是不可排除的,因此1+1成立是不可能的,這就完全論證了布朗篩法不能證"1+1",因爲素數自己的分佈呈現無序性的變化,素數對的變化同偶數值的增加兩者之間不存在簡單正比例關係,偶數值增大時素數對值忽高忽低,能經過數學關係式把素數對的變化同偶數的變化聯繫起來嗎?不能!偶數值與其素數對值之間的關係沒有數量規律可循,二百多年來,人們的努力證實了這一點,最後選擇放棄,另找途徑,因而出現了用別的方法來證實Goldbach猜測的人們,他們的努力,只使數學的某些領域獲得進步,而對Goldbach猜測證實沒有一點做用,Goldbach猜測本質是一個偶數與其素數對關係,表達一個偶數與其素數對關係的數學表達式,是不存在的,它能夠從實踐上證明,但邏輯上沒法解決個別偶數與所有偶數的矛盾,個別如何等於通常呢?個別和通常在質上同一,量上對立,矛盾永遠存在,Goldbach猜測是永遠沒法從理論上,邏輯上證實的數學結論,用當代語言來敘述,Goldbach猜測有兩個內容,第一部分叫作奇數的猜測,第二部分叫作偶數的猜測,奇數的猜測指出,任何一個大於等於7的奇數都是三個素數的和,偶數的猜測是說,大於等於4的偶數必定是兩個素數的和,關於Goldbach猜測的難度我就不想再說什麼了,我要說一下爲何現代數學界對Goldbach猜測的興趣不大,以及爲何中國有不少所謂的民間數學家對Goldbach猜測研究興趣很大,事實上,在1900年,Hilbert在世界數學家大會上做了一篇報告,提出了23個挑戰性的問題,Goldbach猜測是第8個問題的一個子問題,這個問題還包含了黎曼猜測和孿生素數猜測,現代數學界中廣泛認爲最有價值的是廣義黎曼猜測,若黎曼猜測成立,不少問題就都有了答案,而Goldbach猜測和孿生素數猜測相對來講比較孤立,若單純的解決了這兩個問題,對其餘問題的解決意義不是很大,因此數學家傾向於在解決其它的更有價值的問題的同時,發現一些新的理論或新的工具,「順便」解決Goldbach猜測,例如,一個頗有意義的問題是：素數的公式,若這個問題解決,關於素數的問題應該說就不是什麼問題了,爲何民間數學家們如此醉心於Goldbach猜測,而不關心黎曼猜測之類的更有意義的問題呢?一個重要的緣由就是,黎曼猜測對於沒有學過數學的人來講,想讀明白是什麼意思都很困難,而Goldbach猜測對於小學生來講都能讀懂,數學界廣泛認爲,這兩個問題的難度不相上下,民間數學家解決Goldbach猜測大可能是在用初等數學來解決問題,通常認爲,初等數學沒法解決Goldbach猜測,退一步講,即便那天有一個牛人,在初等數學框架下解決了Goldbach猜測,有什麼意義呢?這樣解決,恐怕和作了一道數學課的習題的意義差很少了,當年Bernoulli兄弟向數學界提出挑戰,提出了最速降線的問題,Newton用非凡的微積分技巧解出了最速降線方程,Johann Bernoulli用光學的辦法巧妙的也解出最速降線方程,Jakob Bernoulli用比較麻煩的辦法解決了這個問題,雖然Jakob Bernoulli的方法最複雜,可是在他的方法上發展出瞭解決這類問題的廣泛辦法-變分法,如今來看,Jakob Bernoulli的方法是最有意義和價值的,一樣,當年Hilbert曾經宣稱本身解決了費爾馬大定理,但卻不公佈本身的方法,別人問他爲何,他回答說：這是一隻下金蛋的雞,我爲何要殺掉它?的確,在解決費爾馬大定理的歷程中,不少有用的數學工具獲得了進一步發展,如橢圓曲線,模形式等,因此,現代數學界在努力的研究新的工具,新的方法,期待着Goldbach猜測這個「下金蛋的雞」可以催生出更多的理論和工具.