關於棣莫弗定理證實的一個延拓

1.複數

咱們把形如a+bi的數稱爲複數，其中a稱爲實部，b稱爲虛部，i稱爲虛數單位，a，b∈R.

在複平面內，任何一個複數均可以表示爲r(cosθ+isinθ)的形式，其中，θ叫作該複數的輻角，即該複數在複平面內與實數軸的夾角，r爲該複數的模.

2.棣莫弗定理

對於複數Z1，Z2，若：

Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
Z2=r2(cosθ2+isinθ2)

則：Z1.Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

3.棣莫弗定理的推廣

對於複數Z1，Z2，Z3，...，Zn，若：

Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
Z2=r2(cosθ2+isinθ2)
Z3=r3(cosθ3+isinθ3)
...
Zn=rn(cosθn+isinθn)

則：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rn[cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)]

通常地，若，Z1=Z2=Z3=...=Zn

則，棣莫弗定理的乘方形式可表爲：

[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)

4.棣莫弗定理乘方形式的證實

證實

將e^x,cosx,sinx分別展開成泰勒級數：

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+...
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!...

將x=ix代入上式

可得歐拉公式：e^ix=cosx+isinx

應用該公式可得：(cosx+isinx)^n=(e^ix)^n=e^inx=cos(nx)+isin(nx)

因此：(cosx+isinx)^n=cos(nx)+isin(nx)

所以：[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)

證畢

5.棣莫弗定理通常形式的證實

證實

對於如下形式：

Z1=r1(cosθ1+isinθ1)
Z2=r2(cosθ2+isinθ2)
Z3=r3(cosθ3+isinθ3)
...
Zn=rn(cosθn+isinθn)

根據：e^iθ=cosθ+isinθ，有：

Z1=r1e^iθ1
Z2=r2e^iθ2
Z3=r3e^iθ3
...
Zn=rne^iθn

因此：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rne^i(θ1+θ2+θ3+...+θn)

根據：e^iθ=cosθ+isinθ，令，θ=θ1+θ2+θ3+...+θn，有：

e^i(θ1+θ2+θ3+...+θn)=cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)

因此：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rne^i(θ1+θ2+θ3+...+θn)=r1r2r3...rn[cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)]

所以：Z1.Z2.Z3...Zn=r1r2r3...rn[cos(θ1+θ2+θ3+...+θn)+isin(θ1+θ2+θ3+...+θn)]

證畢