關於大衍求一術的一個延拓

今天是一個明朗的日子，心情閒暇，因而，研究了一下我國的算術，我國的算術實際上是很是博大精深的，只是因爲某些偶然緣由，我國算術沒能發展起來，不然，現代算術中心必在東方之華夏，在個人印記中，咱們中學之前所學的算術思想，整體都體現了東方之華夏的風格.

原載<<孫子算經>>卷下第二十六題

今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?

通俗來說，該問題的意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下兩個，五個五個地數，會剩下三個，七個七個地數，也會剩下兩個，這些物品的數量至少是多少個?

咱們能夠用孫子定理來解決該問題，孫子定理是我國古代求解一次同餘式組的方法，用現代數學語言來講明的話，即：設m1，m2，m3，...，mk，...，mn，是兩兩互素的正整數，那麼，對於任意整數，a1，a2，a3，...，ak，...，an，一次同餘方程組：

x≡a1(mod m1)
x≡a2(mod m2)
x≡a3(mod m3)
...
x≡ak(mod mk)
...
x≡an(mod mn)

其解爲，x≡M1.M1^(-1).a1+M2.M2^(-1).a2+M3.M3^(-1).a3+...+Mk.Mk^(-1).ak...+Mn.Mn^(-1).an(mod m)，這裏，m=m1.m2.m3...mk...mn

Mj=m/mj，MjMj^(-1)≡1(mod mj)，(1≤j≤k)

孫子定理的證實：

因爲，m1，m2，m3，...，mk，...mn，兩兩互素

因此，m=[m1，m2，m3，...，mk，...，mn]=m1.m2.m3...mk...mn

若，一次同餘方程組有解c1，c2，則：c1≡c2(mod m)

由於，m1.m2.m3...mk...mn兩兩互素，c1≡c2(mod mj)，1≤j≤k

這即證實了同餘方程如有解，則解數爲1

下證，x=M1.M1^(-1).a1+M2.M2^(-1).a2+M3.M3^(-1).a3+...+Mk.Mk^(-1).ak...+Mn.Mn^(-1).an，確實是同餘方程組的解，顯然，(mj，Mj)=1

因此，知足MjMj^(-1)≡1(mod mj)的Mj^(-1)必存在

由MjMj^(-1)≡1(mod mj)以及mj|Mi(j≠i)，因而推出：

x=MjMj^(-1).aj≡aj(mod mj)

即，x是解

因而，則有：

x≡2(mod 3)
x≡3(mod 5)
x≡2(mod 7)

先求被3除餘2，並能同時被5，7整除的數，這樣的數最小是35，再求被5除餘3，並能同時被3，7整除的數，這樣的數最小是63，而後求被7除餘2，並能同時被3，5整除的數，這樣的數最小是30，因而，由35+63+30=128，獲得的128就是一個所要求得的數，但這個數並非最小的，再用求得的128減去或者加上3，5，7的最小公倍數105的倍數，就獲得許許多多這樣的數：{23，128，233，338，443，...}，從而可知，23，128，233，338，443，...都是孫子問題的解，而其中最小的解是23.

即，x=23

南宋數學家秦九韶在1247年著成<<數書九章>>十八卷，全書共81道題，分爲九大類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢穀類、營建類、軍旅類、市易類，它總結了前人在開方中所使用的列籌方法，將其整齊而有系統地應用到高次方程的有理或無理根的求解上去，其中對大衍求一術、正負開方術、高次方程的數值解法等有十分深刻的研究，其中的大衍求一術，即，一次同餘組解法，1852年，大衍求一術傳入歐洲，人們發現大衍求一術和高斯的定理是一致的，而我國的研究早了一千多年，因而歐洲人就將大衍求一術，即，一次同餘組解法稱之爲中國剩餘定理，美國科學史家薩頓稱讚秦九韶是：他那個民族、他那個時代，而且也是全部時代最偉大的數學家之一，孫子問題的解法能夠推廣成解一次同餘式組的通常方法，秦九韶給出了理論上的證實，並將它定名爲：大衍求一術.

咱們將孫子定理推廣到通常情形，就能夠獲得大衍求一術(現表明示)，以下：

設有一數N，分別被兩兩互素的正整數A1，A2，A3，...，An相除得餘數R1，R2，R3，...，Rn，即：

N≡Ri(mod Ai)，i=1，2，3，...，n

若，求出一組正整數ki，i=1，2，3，...，n，使其知足ki.(M/Ai)≡1(modAi)，則適合已給一次同餘式組的最小正整數爲：

N=∑ki.(M/Ai).Ri-l.M，i∈[1,n]且i∈Z+，(l是某一整數，M=A1.A2.A3...An)

這即爲大衍求一術的現表明示

之前，ki叫做乘率，各Ai叫做定數，M=ΠAj，j∈[1,n]且j∈Z+，叫做衍母，M/Ai叫做衍數，大衍求一即爲求乘率ki的值，爲簡單起見，咱們把M/Ai記爲G，把Ai記爲A，ki記爲k，則，大衍求一即變爲在G，A互素的情形下求知足於：kG≡1(mod A)的k值

若，G>A，則，令G/A，求得餘數g<A，則，G≡g(mod A)，從而，kg≡1(mod A)和kG≡1(mod A)等價，所以，問題即變爲求知足於kg≡1(mod A)的k值，g稱爲奇數.

大衍求一術求解問題的思想是：把g置於右上，A置於右下，左上置天元一，g和A展轉相除，繼而得商q1，q2，q3，...和餘數r1，r2，r3，...，同時，按照必定的規則在左下，左上計算c1，c2，c3，...，直到右上rn=1爲止(此時，n必爲偶數，當rs=1且s爲偶數時，則，令q(s+1)=r(s-1)-1，即有r(s-1)=rsq(s+1)+r(s+1)，則，令n=s+1，rn=r(s+1)=1)，則，左上的cn=qnc(n-1)+c(n-2)即是所求的k值，現表明示即爲：

因而，記c0=1，c1=q1，ci=qici-1+ci-2，d0=0，d1=1，di=qidi-1+di-2，diA-cig=(-1)^(i-1)ri(i=1，2，3，...，n)，當rn=1(n爲偶數)時，有：dnA-cng=(-1)^(n-1)rn=-1，從而，cng≡1(mod A)，所以，cn=qncn-1+cn-2，即爲所求k值，如論如何，最後一步都出現餘數1，整個計算到此爲止.