Kruskal重構樹入門

這個知識點好像咕咕咕了好長了。。趁還沒退役趕忙補一下吧。。

講的很是簡略，十分抱歉。。

前置知識

Kruskal算法

必定的數據結構基礎(如主席樹)

Kruskal重構樹

直接bb好像不是很好講，那就從這道題入手吧。

在Bytemountains有$N$座山峯，每座山峯有他的高度$h_i$。

有些山峯之間有雙向道路相連，共$M$條路徑，每條路徑有一個困難值，這個值越大表示越難走.

如今有$Q$組詢問，每組詢問詢問從點$v$開始只通過困難值小於等於$x$的路徑所能到達的山峯中第$k$高的山峯，若是無解輸出$-1$

首先，這是一張圖(你在說大實話麼)

對於一個點來講，通過困難值小於等於$x$的路徑所能到達的點是必定的。

可是這和生成樹有啥關係呢？

顯然，若一個點能經過一條路徑到達，那麼咱們走最小生成樹上的邊也必定能到達該節點。

這樣咱們把最小生成樹建出來，就能夠少考慮不少邊了。

然而並無什麼卵用。。

如今咱們須要作的，是找一種方法，可以維護出一個點能到達的點。

因而Kruskal重構樹就誕生了。

它的思想是這樣的：

在運行Kruskal算法的過程當中，對於兩個能夠合併的節點$(x, y)$，斷開其中的連邊，並新建一個節點$T$，把$T$向$(x, y)$連邊做爲他們的父親，同時把$(x, y)$之間的邊權當作$T$的點權

好比說

 

重構以後是這樣的：

 

這樣咱們獲得了一個新的樹，考慮它有什麼性質。

其中最重要的一條就是：一個節點能走到的節點必定在它的子樹中

而後這道題就作完了，直接dfs序+主席樹便可

 

固然，除了這一條以外，Kruskal重構樹還有不少有意思的性質

1. 是一個二叉樹
2. 若是是按最小生成樹創建的話是一個大根堆(important!)
3. 任意兩個點路徑上邊權的最大值爲它們的LCA的點權

例題

[NOI2018]歸程