關於羣論證實費馬小定理？

 

這篇博客就是講證費馬的，沒什麼意思。

 

既然是要用羣論證實費馬小定理，那麼咱們先用數論證實一下。

(如下的 p 爲一個質數)

 

首先咱們考慮 一個前置定理：

 

第一個證實

 

若 $(c,p) =1$ (即 c 與 p 的 gcd 爲 1)，且 $ac ≡ bc (mod\ p)$ ， 那麼由 $a ≡ b (mod\ p)$

 

證：

∵$ac≡ bc ( mod\ p )$ 

∴$(a-b)c≡0 (mod\ p)$

∴(a-b)c 是 p 的整數倍

又∵$(c,p)=1$

∴$a-b≡0 (mod\ p)$，即 $a≡b (mod\ p)$

得證！

 

 

第二個證實

而後咱們進入正題，假設有正整數 a (a<p) 知足條件 $(a,p)=1$ ，那麼咱們將 a 乘上 1~p-1 後能夠構成一個 %p 的徹底剩餘系

 

證：

假設存在 $xa≡ya(mod\ p)$，且 $x≠y$

 

∵ a 與 p 互質

 

∴原式成立當且僅當 $x≡y(mod\ p)$ 

 

又∵x,y∈[1,p-1] 

 

∴ $x≡y(mod\ p)$ 當且僅當 $x=y$，與已知條件矛盾

 

∴得證假設不成立，原命題成立

 

第三個證實

 

接下來證實 $a^{p-1}≡1 (mod\ p)$

 

證：

又∵$1,....,p-1$ 是 %p 的徹底剩餘系

 

∴有 $1*2*...*(p-1) ≡ a*2a*3a*...*(p-1)a (mod\ p)$，即$(p-1)!≡p-1!*a^{p-1} (mod\ p)$

 

又 ∵ p 是質數，因此 $((p-1)!,p)=1$，即 (p-1)! 與 p 互質

 

∴ $a^{p-1}≡1(mod\ p)$

 

得證！

 

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而後咱們就進入第二個階段，用羣論證實費馬小定理吧。

 

首先若是你會證拉格朗日定理那麼這裏就沒什麼難度了。

 

那麼咱們先假設拉格朗日定理成立，後面再來證實它。

 

哦對了，拉格朗日定理是什麼都還沒講呢：

 

Lagrange定理 

　　設 H<=G ，若是|G|=N, |H|=n, 且有 [G:H]=j ，那麼 N=nj 。

其中 [G:H]=j 表示子羣 H 在 G 中的左（右）陪集個數（固然有可能 j 是無窮大）。 所謂左（右）陪集的個數的含義就是左（右）陪集中本質不一樣的集合（注意這裏講的是集合）個數。

 

那麼咱們能夠獲得一個推論就是： 對於 G 中的任意元素 a ， a 的階爲 |G|  的因子。

那麼 a 的階就是以 a 爲生成元構成的羣的大小，<a> 就是 a 構成的一個循環羣。

 

 

那麼這裏咱們就能夠證實出費馬小定理了。

 

也就是說咱們令 G 爲 1~p-1 構成的 %p 意義下的乘法羣（p 仍然是質數），

而後 G 中的任意元素 a 必然知足 $a^{p-1} %p = 1$ 

證：

設 a 構成的循環羣大小爲 d，則 $a^d ≡ 1 (mod\ p)$

 

又∵根據 Lagrange定理 可得 d|(p-1)

 

令 j =(p-1)/d 

 

∵ $a^{d*j}  ≡ 1(mod\ p)$  

 

∴ $a^{p-1} ≡ 1(mod\ p)$

得證！

 

 

然鵝 Lagrange定理 真的懶得證了，因此這裏就貼個網址你本身去看吧！

 

提醒一下，裏面要用到陪集的性質，也就是兩個左(右)陪集知足：

 

1. aH=bH

2. aH∩bH=∅

 

順便提一下，這樣能夠連着蒙哥馬利快速模的正確性一塊兒證掉（固然這裏 p 仍是質數）

 

由於若是 $a^{p-1}  ≡ 1(mod\ p) $，那麼也就是 $a*a^{p-2} ≡ 1(mod\ p)$

 

根據逆元定義， $a^{p-2}%p$ 就是 a 在模 p 意義下的逆元咯~

 

而後水過了一篇證實（這能說是僞證麼2333）