關於費馬平方和定理之證實

費馬平方和定理

任意被4除餘1的素數p,均可表示爲兩個平方數之和.

記爲,p≡1(mod4)<=>p=x^2+y^2,x,y∈Z+.

Brahmagupta-Fibonacci恆等式

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2
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(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

證實,示下：

1.根據Brahmagupta-Fibonacci恆等式,任何兩個被4除餘1的素數的積也都能表示爲兩個平方數的和.

2.若是,一個能表示爲兩個平方數之和的整數被另外一個能表示爲兩個平方數之和的素數整除,則他們的商也能表示爲兩個平方數之和.

假設,a^2 + b^2能被p^2+q^2整除,且p^2+q^2爲素數,則,p^2 + q^2能整除.

(pb-aq)(pb+aq) = p^2b^2 - a^2q^2 = p^2(a^2+b^2) - a^2(p^2+q^2)

因爲p^2+q^2是素數,所以,他能整除兩個因子之一.

假設,他能整除pb-aq

因爲(a^2+b^2)(p^2+q^2) = (ap+bq)^2 + (aq-bp)^2

可推出p^2+q^2能整除(ap+bq)^2

因而,等式能被p^2+q^2的平方整除,兩邊除以(p^2+q^2)^2得：

(a^2+b^2)/(p^2+q^2)=((ap+bq)/(p^2+q^2))^2+((aq-bp)/(p^2+q^2))^2

所以,其商能表示爲兩個平方數之和.

若是,p^2+q^2能整除pb+aq,則利用等式

(a^2+b^2)(q^2+p^2)=(aq+bp)^2+(ap-bq)^2,同理可證.

3.若是一個能表示爲兩個平方數之和的整數被另外一個不能表示爲兩個平方數之和的整數整除,則他們的商也必有一個不能表示爲兩個平方數之和的因子.

假設x能整除a^2+b^2,且其商的分解式爲,p1p2...pn,則,a^2+b^2=xp1p2...pn,

若是,全部的因子pi都能表示爲兩個平方數之和,則咱們能夠用p1,p2等去除a^2+b^2,並使用第二步的結論,可得每個商都能表示爲兩個平方數之和

除到只剩x的時候,可得x也能表示爲兩個平方數之和,矛盾.

所以,若是x不能表示爲兩個平方數之和,則至少有一個素數,pi亦不能表示爲兩個平方數之和.

4.若是,a,b互爲素數,則a^2+b^2的全部因子都能表示爲兩個平方數之和.

這一步用到了無窮遞降法,設x是a^2+b^2的一個因子,可記爲：

a=mx±c,b=nx±d

其中,c和d的絕對值最多不超過x的一半,可得：

a^2+b^2=m^2x^2±2mxc+c^2+n^2x^2±2nxd+d^2=Ax+(c^2+d^2)

所以,c^2+d^2必定能夠被x整除.

設,c^2+d^2=yx

若是,c和d不互爲素數,則他們的最大公約數與x互質（不然,他與x的最大公約數就能整除a和b,與咱們假設,他們互素矛盾）.

所以,他們的最大公約數的平方能整除y（由於,他能整除c^2+d^2）,因而,咱們獲得:

e^2+f^2=zx

其中,e和f互爲素數,且z不超過x的一半,這是由於：

zx=e^2+f^2<=c^2+d^2<=(x/2)^2+(x/2)^2=(1/2)x^2

若是,c和d互爲素數,則,咱們能夠直接使用c和d,沒必要轉換爲e和f.

若是x不能表示爲兩個平方數之和,則根據第三步的結論,可知必有一個z的因子不能表示爲兩個平方數之和,設,他爲w

因而,咱們從x推出了一個更小的整數w,都不能表示爲兩個平方數之和

但都能被一個能表示爲兩個平方數之和的整數整除

因爲這個無窮遞降是不可能的

所以,x必定能表示爲兩個平方數之和.

5.任何形如,4n+1的素數,都能表示爲兩個平方數之和.

若是,p=4n+1,則,根據費馬小定理,可得：

1,2^4n,3^4n,...,(4n)^4n被p除都餘1

所以,他們的差2^4n-1,3^4n-2^4n,...,(4n)^4n-(4n-1)^4n都能被p整除,這些差能夠分解爲：

a^4n-b^4n=(a^2n+b^2n)(a^2n-b^2n)

因爲p是素數,他必定能整除這兩個因子之一（如下稱,他們爲「和因子」和「差因子」）.

若是,他能整除任何一個「和因子」,則根據第四步的結論可得p能表示爲兩個平方數之和（因爲a和b僅相差1,,他們必然互素）.

而若是,他能整除全部的4n-1個「差因子」,2^2n-1,3^2n-2^2n,...,(4n)^2n-(4n-1)^2n

則他亦能整除4n-2個一階差,4n-3個二階差,依此類推.

因爲,數列1^k,2^k,3^k,...之第k階差都等於k!,因而,第2n階差都等於2n.

顯然,他不能被p整除,所以,p不能整除全部的「差因子」.

得證.