【PKUWC2018】獵人殺

題目描述

題目分析

設\(W=\sum\limits_{i=1}^nw_i\)，\(A=\sum\limits_{i=1}^nw_i[i\ is\ alive]\)，\(P_i\)爲下一個打中\(i\)的機率。

若是開槍打中了已經死亡的獵人，咱們能夠視做再開一槍，這樣就不會產生影響，所以有
\[ \begin{split} P_i&=\frac{W-A}{W}P_i+\frac{w_i}W\\ 移項得\ P_i&=\frac{w_i}{A} \end{split} \]

考慮容斥，枚舉\(S\)，強制\(|S|\)我的在\(1\)後被射殺，其餘隨意，

因此能夠視做打中其餘人與打中死亡的獵人等價，能夠再開一槍，

所以，\(1\)號獵人在其餘\(|S|\)個獵人前被射殺的機率爲\(P_1\)
\[ \begin{split} ans&=\sum_S(-1)^{|S|}P_1\\ &=\sum_{S}(-1)^{|S|}\frac{w_1}{w_1+sum\_w_S}\\ &=w_1\sum_{S}(-1)^{|S|}\frac{1}{w_1+sum\_w_S} \end{split} \]

考慮生成函數，後面的和式等價於
\[ \sum_{i=2}^n(1-x^{w_i}) \]

用分治+NTT求出，第\(i\)項的指數爲\(sum\_w_S\)，係數爲知足這個\(sum\)的容斥係數和。

若生成函數爲\(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\)，則
\[ ans=\sum_{i=0}^\infty a_i\cdot \frac{w_1}{w_1+i} \]

代碼實現

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=400005,mod=998244353;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int ksm(int x,int k){
    int ret=1;
    while(k){
        if(k&1)ret=(LL)ret*x%mod;
        x=(LL)x*x%mod,k>>=1;
    }
    return ret;
} 
int rev[N];
void NTT(int *a,int x,int K){
    int n=(1<<x);
    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp);
        if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2); 
        for(int j=0;j<n;j+=tmp){
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){
                int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(K==-1){
        int inv=ksm(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
    }
}
int w[N],sum[N];
void Binary(int *a,int l,int r){
    if(l==r)return a[0]=1,a[w[l]]=mod-1,void();
    int mid=l+r>>1;
    int f[N],g[N];
    memset(f,0,(sum[r]-sum[l-1]+1)<<3),memset(g,0,(sum[r]-sum[l-1]+1)<<3); 
    Binary(f,l,mid),Binary(g,mid+1,r);
    int x=ceil(log2(sum[r]-sum[l-1]+2));
    for(int i=0;i<(1<<x);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
    NTT(f,x,1),NTT(g,x,1);
    for(int i=0;i<(1<<x);i++)a[i]=(LL)f[i]*g[i]%mod;
    NTT(a,x,-1);
}
int a[N];
int main(){
    int n=Getint(),t=Getint();
    if(n==1)cout<<1,exit(0);n--;
    for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=Getint(),sum[i]=sum[i-1]+w[i];
    Binary(a,1,n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=sum[n];i++)
        ans=(ans+(LL)a[i]*t%mod*ksm(t+i,mod-2)%mod)%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}