遞歸與分治策略（一）---算法設計與分析

遞歸與分治策略（一）

簡而言之，遞歸就是本身調用本身。

遞歸算法：直接或者間接地調用自身的算法。

遞歸函數：用函數自身給出定義的函數。

注意：每一個遞歸函數都必須有非遞歸定義的初始值，以確保遞歸函數完成計算。

下面經過兩個例子來介紹遞歸的特色

例1 階乘函數

階乘函數遞歸地定義爲：

n!=1   (n=0)   

或者   

n!=n(n-1)!  (n>0)

下面用一段簡單的Java代碼實現

這裏是遞歸實現：

public static int facterial(int n) {
		if (n == 0)
			return 1;
		else if (n < 0)
			return -1;//發生異常，退出
		else
			return n * facterial(n - 1);
	}

下面是迭代實現：

public static int f(int n) {
		if (n == 0)
			return 1;
		else if (n < 0)
			return -1;//發生異常，退出
		else {
			for (int i = n - 1; i >= 1; i--) {
				n *= i;
			}
			return n;
		}

	}

分析比較一下兩種實現方法：

遞歸實現：時間複雜度O(n)；空間複雜度O(n)。

迭代實現：時間複雜度O(n)；空間複雜度O(1)。

比較可知兩種實現的時間複雜度等價，空間複雜度遞歸佔用的略大一下，可是代碼的結構清晰度遞歸更清晰一些。

下面進行第二個例子的講解

例2 Fibonacci數列

Fibonacci數列的遞歸定義爲

F(n)=1   (n=0,1)

或者

F(n)=F(n-1)+F(n-2)    (n>1)

下面用一段簡單的Java代碼實現

這裏是遞歸實現：

public static int fibonacci(int n ){
		if(n<0)
			return -1; //發生異常，退出
		else if(n<=1)
			return 1;
		else 
			return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
	}

下面是迭代實現：

public static int F(int n){
		if(n<0)
			return -1; //發生異常，退出
		else if(n<=1)
			return 1;
		else {
			int f0=1,f1=1,fx=0;
			for(int i=2;i<=n;i++){
				fx=f0+f1;
				f0=f1;
				f1=fx;
			}
			return fx;
		}
	}

分析比較一下兩種實現方法：

遞歸實現：時間複雜度O(1.618的n次方)；空間複雜度O(n)。

迭代實現：時間複雜度O(n)；空間複雜度O(1)。

比較可知遞歸實現的時間複雜度已經很是大了，空間複雜度遞歸佔用的略大一下，可是代碼的清晰度遞歸更清晰一些。而真正使用起來遞歸實現的代碼是無用代碼，用n=40這個數測試一下便知，遞歸實現的耗時太長了，有興趣的能夠測試一下。

下面概括一下遞歸算法的特色：

1.簡單（結構清晰，可讀性強）

2.性能較低（相比較迭代而言）

性能較低的緣由有如下兩點：

1 需遞歸調用工做棧支持（沒法避免）

2 有可能出現子問題重疊現象（必須盡力避免）

 

這裏遞歸的主要知識點就講完了，下面介紹一下文章標題的分治法。

分治法的基本思想：

（容易）分解->遞歸->（容易）合併

分解：講一個大規模的問題分解爲多個規模較小的子問題，須要注意的是子問題必須互相獨立而且與原問題相同。

這裏用一個例子進行講解：歸（合）並排序。

這裏留在下一篇文章介紹，睡覺咯，今天學到了這些，和你們分享一下，感謝你們的支持。