協方差的意義

協方差表明了兩個變量之間的是否同時偏離均值。

 

若是正相關，這個計算公式，每一個樣本對（Xi, Yi）,　每一個求和項大部分都是正數，即兩個同方向偏離各自均值，而不一樣時偏離的也有，可是少，這樣當樣本多時，總和結果爲正。下面這個圖就很直觀。下面轉載自：http://blog.csdn.net/wuhzossibility/article/details/8087863

 

在機率論中，兩個隨機變量 X 與 Y 之間相互關係，大體有下列3種狀況：

 

當 X, Y 的聯合分佈像上圖那樣時，咱們能夠看出，大體上有： X 越大  Y 也越大， X 越小  Y 也越小，這種狀況，咱們稱爲「正相關」。

 

當X, Y 的聯合分佈像上圖那樣時，咱們能夠看出，大體上有：X 越大Y 反而越小，X 越小 Y 反而越大，這種狀況，咱們稱爲「負相關」。

當X, Y  的聯合分佈像上圖那樣時，咱們能夠看出：既不是X  越大Y 也越大，也不是 X 越大 Y 反而越小，這種狀況咱們稱爲「不相關」。

怎樣將這3種相關狀況，用一個簡單的數字表達出來呢？

在圖中的區域（1）中，有 X>EX ，Y-EY>0 ，因此(X-EX)(Y-EY)>0；

在圖中的區域（2）中，有 X<EX ，Y-EY>0 ，因此(X-EX)(Y-EY)<0；

在圖中的區域（3）中，有 X<EX ，Y-EY<0 ，因此(X-EX)(Y-EY)>0；

在圖中的區域（4）中，有 X>EX ，Y-EY<0 ，因此(X-EX)(Y-EY)<0。

當X 與Y 正相關時，它們的分佈大部分在區域（1）和（3）中，小部分在區域（2）和（4）中，因此平均來講，有E(X-EX)(Y-EY)>0 。

當 X與 Y負相關時，它們的分佈大部分在區域（2）和（4）中，小部分在區域（1）和（3）中，因此平均來講，有(X-EX)(Y-EY)<0 。

當 X與 Y不相關時，它們在區域（1）和（3）中的分佈，與在區域（2）和（4）中的分佈幾乎同樣多，因此平均來講，有(X-EX)(Y-EY)=0 。

因此，咱們能夠定義一個表示X, Y 相互關係的數字特徵，也就是 協方差

cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY)。

當 cov(X, Y)>0時，代表 X與Y 正相關；

當 cov(X, Y)<0時，代表X與Y負相關；

當 cov(X, Y)=0時，代表X與Y不相關。

這就是協方差的意義。