協方差的定義

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協方差的定義

 

 

對於通常的分佈，直接代入E(X)之類的就能夠計算出來了，但真給你一個具體數值的分佈，要計算協方差矩陣，根據這個公式來計算，還真不容易反應過來。網上值得參考的資料也很少，這裏用一個例子說明協方差矩陣是怎麼計算出來的吧。

記住，X、Y是一個列向量，它表示了每種狀況下每一個樣本可能出現的數。好比給定

 

則X表示x軸可能出現的數，Y表示y軸可能出現的。注意這裏是關鍵，給定了4個樣本，每一個樣本都是二維的，因此只可能有X和Y兩種維度。因此

 

 

 

 

用中文來描述，就是：

協方差(i,j)=（第i列的全部元素-第i列的均值）*（第j列的全部元素-第j列的均值）

這裏只有X,Y兩列，因此獲得的協方差矩陣是2x2的矩陣，下面分別求出每個元素：

 

       因此，按照定義，給定的4個二維樣本的協方差矩陣爲：

 

 

    

用matlab計算這個例子

z=[1,2;3,6;4,2;5,2]

cov(z)

ans =

    2.9167   -0.3333

   -0.3333    4.0000

能夠看出，matlab計算協方差過程當中還將元素統一縮小了3倍。因此，協方差的matlab計算公式爲：

    協方差(i,j)=（第i列全部元素-第i列均值）*（第j列全部元素-第j列均值）/（樣本數-1）

       下面在給出一個4維3樣本的實例，注意4維樣本與符號X,Y就沒有關係了，X,Y表示兩維的，4維就直接套用計算公式，不用X,Y那麼具備迷惑性的表達了。

 

 

 

 

 

 

 

 

    

                

        （3）與matlab計算驗證

                     Z=[1 2 3 4;3 4 1 2;2 3 1 4]

                     cov(Z)

                     ans =

                          1.0000    1.0000   -1.0000   -1.0000

                          1.0000    1.0000   -1.0000   -1.0000

                         -1.0000   -1.0000    1.3333    0.6667

                          -1.0000   -1.0000    0.6667    1.3333

       可知該計算方法是正確的。咱們還能夠看出，協方差矩陣都是方陣，它的維度與樣本維度有關（相等）。參考2中還給出了計算協方差矩陣的源代碼，很是簡潔易懂，在此感謝一下!