求解多邊形的質心

在前端開發，特別是在遊戲前端開發過程當中，不少場景下須要求一個多邊形的質心。好比在構建由多邊形組成的地圖時，爲了美觀咱們須要把地名標註在地圖的質心處，遊戲重力場中的多邊形物體須要根據質心來計算其運動規律。本文詳述了求解多邊形質心的思考過程。

1、從一個簡單的系統開始

上圖是一個由a，b兩個點組成的系統，其中a的質量爲ma，b的質量爲mb。咱們能夠根據槓桿的平衡原理，求得這兩點的重心(設爲k)。即：

(k.x-a.x)mag1=(b.x-k.x)mbg2
k.x=(a.x*mag1+b.x*mbg2)/(mag1+mbg2)

在均勻的重力場中，即g1=g2等狀況下，質心和重心重合，所以這個系統的質心爲：

k.x=(a.x*ma+b.x*mb)/(ma+mb)

2、多個點的系統

1.三個點的狀況

加入c點，設c點處質量爲mc，咱們把a，b當成一個子系統，令子系統質量爲mk，則mk=（ma+mb）。設系統質點座標點爲l,用一樣的方式可推導出：

l.x=(k.x*mk+c.x*mc)/(mk+mc) =(a.x*ma+b.x*mb+c.x*mc)/(ma+mb+mc);
l.y=(k.y*mk+c.y*mc)/(mk+mc) =(a.y*ma+b.y*mb+c.y*mc)/(ma+mb+mc);

2.多個點的狀況

推而廣之，咱們能夠求出有n個點的系統的質心，其中p1,p2...爲多個點的座標點，m1,m2...爲對應點的質量：

ln.x=(p1.x*m1+p2.x*m2+p3.x*m3+...+pn.x*mn)/(m1+m2+m3+...+mn);
ln.y=(p1.y*m1+p2.y*m2+p3.y*m3+...+pn.y*mn)/(m1+m2+m3+...+mn);

3、求三角形的質心

三角形的質心等同於由三角形三個頂點組成的系統的質心，而且三個頂點的質量相同，即ma=mb=mc，套用上面的公式，可得：

x=(x1+x2+x3)/3;
y=(y1+y2+y3)/3;

4、求凸多邊形質心

先考慮四邊形的狀況，咱們設每一個頂點質量爲m，而後把其中3個點歸爲系統1，另一點歸爲系統2。則系統1和系統2的質量和質心已知，根據槓桿平衡原理，可求得四邊形質心爲：

x=(x1+x2+x3+x4)/4;
y=(y1+y2+y3+x4)/4;

同理可求得n個頂點的凸多邊形的質心爲：

x=(x1+x2+x3+...+xn)/n;
y=(y1+y2+y3+...+yn)/n;

5、求凹多邊形的質心

對於凹多邊形就不能根據上面的方式進行計算了，由於上述方式只考慮了點的狀況，而沒考慮組成的圖形。對於凹多邊形，相同的頂點分佈，可能組成不一樣的多邊形，他們的質心相差很大，以下圖：

對於凹邊形，咱們能夠把它分爲多個三角形組成的系統，其中每一個三角形能夠抽象爲一個帶質量的點p，點的位置爲三角形的質心，點的質量和三角形的面積成正比，即m=s*k。

根據n個點的系統的質心求解公式，可得凹邊形質心求解公式：

x=(p1.x*s1+p2.x*s2+p3.x*s3+...+pn.x*sn)/(s1+s2+s3+...+sn);
y=(p1.y*s1+p2.y*s2+p3.y*s3+...+pn.y*sn)/(s1+s2+s3+...+sn);

其中p1,p2,p3...爲三角形的質心，s1,s2,s3...爲三角形的面積。

固然此公式也能夠求凸多邊形的質心。

6、相關技術知識

1. 已知三角形頂點求三角形面積

能夠用三角形其中兩條邊構成的向量的叉積進行計算，參考：點積與叉積

2. 多邊形三角化

求解凹多邊形質心，須要把多邊形轉爲多個三角形，相關算法你們能夠自行搜素，之後我也會專門寫文章討論。