學習RSA公開密鑰算法

圖爲 RSA公開密鑰算法的發明人,從左到右Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman. 照片攝於1978年

（和訊財經原創）

　　 RSA加密算法是最經常使用的非對稱加密算法，CFCA在證書服務中離不了它。可是有很多新來的同事對它不太瞭解，剛好看到一本書中做者用實例對它進行了簡化而生動的描述，使得高深的數學理論可以被容易地理解。咱們通過整理和改寫特別推薦給你們閱讀，但願可以對時間緊張可是又想了解它的同事有所幫助。
　 　RSA是第一個比較完善的公開密鑰算法，它既能用於加密，也能用於數字簽名。RSA以它的三個發明者Ron Rivest, Adi Shamir, Leonard Adleman的名字首字母命名，這個算法經受住了多年深刻的密碼分析，雖然密碼分析者既不能證實也不可否定RSA的安全性，但這偏偏說明該算法有必定的可信性，目前它已經成爲最流行的公開密鑰算法。
　　RSA的安全基於大數分解的難度。其公鑰和私鑰是一對大素數（100到200位十進制數或更大）的函數。從一個公鑰和密文恢復出明文的難度，等價於分解兩個大素數之積（這是公認的數學難題）。
　　RSA的公鑰、私鑰的組成，以及加密、解密的公式可見於下表：


　　可能各位同事很久沒有接觸數學了，看了這些公式難免一頭霧水。別急，在沒有正式講解RSA加密算法之前，讓咱們先複習一下數學上的幾個基本概念，它們在後面的介紹中要用到：

1、 什麼是「素數」？
　　素數是這樣的整數，它除了能表示爲它本身和1的乘積之外，不能表示爲任何其它兩個整數的乘積。例如，15＝3＊5，因此15不是素數；又如，12＝6＊2＝4＊3，因此12也不是素數。另外一方面，13除了等於13＊1之外，不能表示爲其它任何兩個整數的乘積，因此13是一個素數。素數也稱爲「質數」。

2、什麼是「互質數」（或「互素數」）？
　　小學數學教材對互質數是這樣定義的：「公約數只有1的兩個數，叫作互質數。」這裏所說的「兩個數」是指天然數。
　　判別方法主要有如下幾種（不限於此）：
（1）兩個質數必定是互質數。例如，2與七、13與19。
（2）一個質數若是不能整除另外一個合數，這兩個數爲互質數。例如，3與十、5與 26。
（3）1不是質數也不是合數，它和任何一個天然數在一塊兒都是互質數。如1和9908。
（4）相鄰的兩個天然數是互質數。如 15與 16。
（5）相鄰的兩個奇數是互質數。如 49與 51。
（6）大數是質數的兩個數是互質數。如97與88。
（7）小數是質數，大數不是小數的倍數的兩個數是互質數。如 7和 16。
（8）兩個數都是合數（二數差又較大），小數全部的質因數，都不是大數的約數，這兩個數是互質數。如357與715，357=3×7×17，而三、7和17都不是715的約數，這兩個數爲互質數。等等。

3、什麼是模指數運算？
　　指數運算誰都懂，沒必要說了，先說說模運算。模運算是整數運算，有一個整數m，以n爲模作模運算，即m mod n。怎樣作呢？讓m去被n整除，只取所得的餘數做爲結果，就叫作模運算。例如，10 mod 3=1；26 mod 6=2；28 mod 2 =0等等。
　　模指數運算就是先作指數運算，取其結果再作模運算。如
　　好，如今開始正式講解RSA加密算法。
算法描述：
（1）選擇一對不一樣的、足夠大的素數p，q。
（2）計算n=pq。
（3）計算f(n)=(p-1)(q-1)，同時對p, q嚴加保密，不讓任何人知道。
（4）找一個與f(n)互質的數e，且1<e<f(n)。
（5）計算d，使得de≡1 mod f(n)。這個公式也能夠表達爲d ≡e-1 mod f(n)
這裏要解釋一下，≡是數論中表示同餘的符號。公式中，≡符號的左邊必須和符號右邊同餘，也就是兩邊模運算結果相同。顯而易見，無論f(n)取什麼值，符號右邊1 mod f(n)的結果都等於1；符號的左邊d與e的乘積作模運算後的結果也必須等於1。這就須要計算出d的值，讓這個同餘等式可以成立。
（6）公鑰KU=(e,n)，私鑰KR=(d,n)。
（7）加密時，先將明文變換成0至n-1的一個整數M。若明文較長，可先分割成適當的組，而後再進行交換。設密文爲C，則加密過程爲：。
（8）解密過程爲：。

實例描述：
　　在這篇科普小文章裏，不可能對RSA算法的正確性做嚴格的數學證實，但咱們能夠經過一個簡單的例子來理解RSA的工做原理。爲了便於計算。在如下實例中只選取小數值的素數p,q,以及e，假設用戶A須要將明文「key」經過RSA加密後傳遞給用戶B，過程以下：
（1）設計公私密鑰(e,n)和(d,n)。
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3與20互質）則e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。
d怎樣取值呢？能夠用試算的辦法來尋找。試算結果見下表：

　　經過試算咱們找到，當d=7時，e×d≡1 mod f(n)同餘等式成立。所以，可令d=7。從而咱們能夠設計出一對公私密鑰，加密密鑰（公鑰）爲：KU =(e,n)=(3,33)，解密密鑰（私鑰）爲：KR =(d,n)=(7,33)。
（2）英文數字化。
　　將明文信息數字化，並將每塊兩個數字分組。假定明文英文字母編碼表爲按字母順序排列數值，即：

　　則獲得分組後的key的明文信息爲：11，05，25。
（3）明文加密
　　用戶加密密鑰(3,33) 將數字化明文分組信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：

　　所以，獲得相應的密文信息爲：11，31，16。
（4）密文解密。
　　用戶B收到密文，若將其解密，只須要計算，即：

　　用戶B獲得明文信息爲：11，05，25。根據上面的編碼表將其轉換爲英文，咱們又獲得了恢復後的原文「key」。
　 　你看，它的原理就能夠這麼簡單地解釋！
　 　固然，實際運用要比這複雜得多，因爲RSA算法的公鑰私鑰的長度（模長度）要到1024位甚至2048位才能保證安全，所以，p、q、e的選取、公鑰私鑰的生成，加密解密模指數運算都有必定的計算程序，須要仰仗計算機高速完成。

最後簡單談談RSA的安全性

　 　首先，咱們來探討爲何RSA密碼難於破解？
　 　在RSA密碼應用中，公鑰KU是被公開的，即e和n的數值能夠被第三方竊聽者獲得。破解RSA密碼的問題就是從已知的e和n的數值（n等於pq），想法求出d的數值，這樣就能夠獲得私鑰來破解密文。從上文中的公式：d ≡e-1 (mod((p-1)(q-1)))或de≡1 (mod((p-1)(q-1))) 咱們能夠看出。密碼破解的實質問題是：從Pq的數值，去求出(p-1)和(q-1)。換句話說，只要求出p和q的值，咱們就能求出d的值而獲得私鑰。
　 　當p和q是一個大素數的時候，從它們的積pq去分解因子p和q，這是一個公認的數學難題。好比當pq大到1024位時，迄今爲止尚未人可以利用任何計算工具去完成分解因子的任務。所以，RSA從提出到如今已近二十年，經歷了各類攻擊的考驗，逐漸爲人們接受，廣泛認爲是目前最優秀的公鑰方案之一。
　　然而，雖然RSA的安全性依賴於大數的因子分解，但並無從理論上證實破譯RSA的難度與大數分解難度等價。即RSA的重大缺陷是沒法從理論上把握它的保密性能如何。
　　此外，RSA的缺點還有：A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，於是難以作到一次一密。B)分組長度太大，爲保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤爲是速度較慢，較對稱密碼算法慢幾個數量級；且隨着大數分解技術的發展，這個長度還在增長，不利於數據格式的標準化。所以，使用RSA只能加密少許數據，大量的數據加密還要靠對稱密碼算法。

（和訊財經原創）