馬拉車和字典樹

馬拉車算法：用於求解最長迴文子串的問題。由於它可以以O(n)的時間複雜度求解答案，所以十分的高效。

算法思想：馬拉車算法主要是利用已求解的迴文子串內部具備對稱性，藉由此來進行加速處理。

舉個例子：

1.字符串：abbababa        最長迴文子串：5（abbababa）

2.字符串：abcbbabbc      最長迴文子串：7（abcbbabbc）

3.字符串：abccbaba        最長迴文子串：6（abccbaba）

傳統方法是，遍歷每一個字符，以該字符爲中心向兩邊查找。時間複雜度爲O(n^2)，效率不好；

在此基礎上能夠先對字符串哈希一下，而後用二分求解，能夠達到O(nlogn)。

最後最優的求解此類問題的算法就是咱們的馬拉車算法了，他達到了神奇的O(n)。

迴文串分爲奇迴文和偶迴文，而咱們的馬拉車算法進行了一個騷操做，將全部迴文子串都處理成了奇迴文。咱們在每一個字符的前邊和後邊都插入一個沒有出現過的字符，最後再在最前面插入一個沒有出現過的字符（防止越界），就能夠達到這個神奇的效果。

舉個例子：

字符串：abbababa

變換以後：$#a#b#b#a#b#a#b#a#\0

迴文子串：#a#, #a#b#a#b#a#

這樣變換後的字符串中的迴文子串就都變成了奇迴文。

咱們規定以s[i]爲中心的迴文子串的半徑爲p[i]，即迴文子串的長度爲2 * p[i] - 1，如上邊#a#b#a#b#a#，迴文半徑爲6，長度爲11，還能夠得出原字符串此時對應的迴文子串長度爲5，即p[i] - 1 = 6 - 1 = 5。

能夠多畫幾個例子看看，這個是根據變換後字符串的規律獲得的。

 

 

 那麼，p[i]應該如何計算呢。

 

 

 咱們計算的時候從左往右計算。由圖咱們可知此時p[j](j = 2 * id - i)已經計算出來了。圖中表示如今(2 * id - mx, mx)區域內爲一個迴文子串，所以咱們能夠得知p[i] = p[j] (i < mx)，而後再循環檢索一下以i爲中心還能再擴大半徑不，就能夠求得p[i]，話很少說，上代碼：

const int maxn = 2e6 + 7;
char s[maxn], a[maxn]; int p[maxn];
int Manacher(char s[], int len) {
    int l = 0;
    a[l++] = '$';
    a[l++] = '#';
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        a[l++] = s[i];
        a[l++] = '#';
    }
    a[l] = 0;
    int mx = 0, id = 0, maxLen = -1;
    for (int i = 1; i < l - 1; i++) {
        p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;
        while (a[i + p[i]] == a[i - p[i]]) p[i]++;
        if (i + p[i] > mx) mx = i + p[i], id = i;
        if (p[i] > maxLen) maxLen = p[i] - 1;
    }
    return maxLen;
}

 然咱們來看看例題：

acwing： https://www.acwing.com/problem/content/141/

字典樹：可以快速查詢當前字符串是否出現過和其餘相關問題。

算法思想：利用空間換取時間。預處理建一棵樹，把內容都記錄下來，以下：

 

 

（標橙色的節點是「目標節點「，即根節點到這個目標節點的路徑上的全部字母構成了一個單詞。）

字典樹就是一棵樹，樹邊記錄了一些字符，結點記錄了一些標記信息。

這就是字典樹的概念。結合上面說的概念，上圖所示的字典樹包括的單詞分別爲：

a abc bac bbc ca

根據字典樹的概念，咱們能夠發現：字典樹的本質是把不少字符串拆成單個字符的形式，以樹的方式存儲起來。因此咱們說字典樹維護的是」字典「。那麼根據這個最基本的性質，咱們能夠由此延伸出字典樹的不少妙用。簡單總結起來大致以下：

• 一、維護字符串集合（即字典）。

• 二、向字符串集合中插入字符串（即建樹）。

• 三、查詢字符串集合中是否有某個字符串（即查詢）。

• 四、統計字符串在集合中出現的個數（即統計）。

• 五、將字符串集合按字典序排序（即字典序排序）。

• 六、求集合內兩個字符串的LCP（Longest Common Prefix，最長公共前綴）（即求最長公共前綴）。

字典樹的兩種基本操做爲建樹和查詢。

存儲數據結構：

const int maxn = 2e5 + 7;
int trie[maxn][26], col[maxn], tot = 1;
char s[maxn];

其中，trie[i][j]表示一個指向子節點的指針，col[i]表示一個終止標記，tot記錄現有的結點個數

插入操做：

void insert(char* s) { int len = strlen(s), p = 1; for (int i = 0; i < len; i++) { int k = s[i] - 'a'; if (!trie[p][k]) trie[p][k] = ++tot; p = trie[p][k]; } col[p] = 1; }

查詢操做：

bool search(char* s) { int len = strlen(s), p = 1; for (int i = 0; i < len; i++) { int k = s[i] - 'a'; if (!trie[p][k]) return false; p = trie[p][k]; } return col[p] == 1; }

 來看看例題： https://www.acwing.com/problem/content/144/       https://www.acwing.com/problem/content/163/