manacher(馬拉車算法)

Manacher(馬拉車算法)

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序言

mannacher 是一種在 O(n)時間內求出最長迴文串的算法

咱們用暴力求解最長迴文串長度的時間複雜度爲O(n³)

很明顯，這個時間複雜度咱們接受不了，這時候，manacher也就是俗稱的馬拉車算法就出世了

算法描述

先考慮一種在O(n²)的時間複雜度內求解的算法

咱們能夠從左到右枚舉字符串的每個字符，以當前字符爲起點，向左，和向右同時延伸來求解

迴文長度，但咱們深刻分析一下，發現，這個算法明顯是有漏洞的，它只能解決字符串長度爲

爲奇數的迴文長度，偶數的字符串沒法由它求出迴文長度。

好比aba用該算法求出的值爲3是正確的,但abba用該算法求出的值倒是1，很明顯，是錯誤的，那麼咱們考慮，

如何去優化該算法，使得奇數和偶數都能解決，咱們考慮在字符串的首尾和字符

串間隔中插入一個特殊字符如 #,例如abba,插入後就變爲了#a#b#b#a#字符串的長

度由n變爲了2n+1這樣就能夠保證字符串的長度爲奇數了，證實很簡單，2n定爲偶數

則2n+1必定爲奇數而後即可以經過上述算法求出目前的迴文長度了。

但，n² 的算法仍然沒法知足咱們的需求，咱們考慮繼續優化，那麼如何優化呢？

咱們須要引入幾個定義

下述定義用未插入特殊字符的字符串進行解釋

1：迴文中心，即一回文串的中心字符好比abcba這個迴文串，從左向右數的第3個字符即c

便爲其迴文中心咱們由於咱們對字符串進行了處理，因此便保證了每一串都有其迴文中心

2，迴文半徑，即迴文串的最右邊界到迴文中心的字符個數（包含迴文中心）

咱們能夠發現，每一個串的迴文半徑的長度*2-1即是所求迴文串的長度

因此，咱們只要求出那個最大的迴文半徑即可獲得最長迴文串長度

那麼，咱們如何求解呢？

manacher算法的本質即是對上面所提的n²的優化

咱們看下圖，假設咱們目前枚舉到i，定義r爲到目前爲止的迴文串的最右邊界，即目前爲止的所

有迴文串中，最右的字符下標最大的那個下標；mid則爲 r 所在迴文串的迴文中心

咱們對i進行討論

當i<r時由於i位於以mid爲迴文中心的迴文串中，因此以i爲迴文中心的字符串有可能被以mid

爲迴文中心的字符串包含，假設被包含，咱們利用迴文串的對稱性可知，以i關於mid的對稱點也就是j點

爲迴文中心的字符半徑等於以i爲半徑的迴文半徑

咱們直接賦值便可

定義p數組爲迴文半徑長度

那麼咱們如何判斷呢？當r-i的長度要大於p [j] 時，p[j]必定沒有超過mid的範圍，那麼，咱們直接對稱過去更新p[i]便可

反之，當r-i>r-i 代表p[j]有可能包含mid範圍以外的數，咱們沒法將p[j]賦給p[i]便在範圍內將r-i賦給p[i];

本質融合成一句代碼即是

p[i]=p[mid*2-i]>mir-i?mir-i:p[mid*2-i];

咱們求j的下標利用中點座標公式求解便可

貼一發代碼

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn =2e7+10;
char s[maxn];
char ns[maxn];
int p[maxn];
int getle(){
	int len=strlen(s);
	int j=2;
	ns[0]='~';//設置枚舉邊界，字符串右側帶有換行，因此咱們右側沒必要放字符了
	ns[1]='$';
	for(int i=0;i<len;i++){
		ns[j++]=s[i];
		ns[j++]='$';
	}
	return j;
}
int manacher(){
	int len=getle();
	int mid=1;
	int mir=1;
	int ans=-1;
	for(int i=1;i<len;i++){
		if(mir>=i){
			p[i]=p[mid*2-i]>mir-i?mir-i:p[mid*2-i];
		}
		else{
			p[i]=1;
		}
		while(ns[i+p[i]]==ns[i-p[i]]){
			p[i]++;
		}
		if(p[i]+i>mir){
			mid=i;
			mir=p[i]+i;
		}
		ans=max(p[i]-1,ans);
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin>>s;
	cout<<manacher();
	return 0;
}

完結撒花