Manacher's Algorithm (馬拉車算法)

時間 2021-02-01

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用來查找一個字符串中最長迴文子串的方法ios

平時的暴力爲 $n^3$ ,而$Manacher$將時間複雜度提高到了線性，牛算法

$n^3$ 實在太……，想到優化數組

枚舉每個字符，並以它爲中心，向兩邊尋找回文串，當遍歷完整個數組的後，就能夠找到最長的迴文串，時間複雜度 $O（n^2）$優化

$Manacher$ 只需 $O（n）$spa

迴文串的長度可奇可偶，aba(奇),abba（偶）code

預處理（在每個字符左右都加'#'）那麼不管奇偶，字符的個數都成了奇數，避免了分類討論blog

$aba -->  #a#b#a#$
$abba --> #a#b#b#a#$

類比 $KMP$ 算法，咱們處理一個P數組，$P[i]$表示以$a[i]$字符爲中心的迴文子串的半徑(若$P[i] = 1$，則該回文串就是 $a[i]$ 自己)字符串

關於半徑

很明顯咱們求出最長的半徑就知道最長迴文串字符的個數，爲啥？？string

舉個栗子：io

A:# 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 2 #
p:1 2 1 2 5 2 1 6 1 2 3 2 1

顯然以中間'1'爲中心的迴文串半徑最大爲6；原串爲22122,長度爲5，正好爲半徑減一
奇數的舉例也是如此，因此該辦法可靠

關於起始位置

咱們若是知道半徑長度，但彷佛沒法定位子串，因此咱們還要知道它的起始位置

solution:咱們再在原串起始位置加一個$，因此起始位置就是中間位置減去半徑再除以2

關於爲何加$,(避免與原串字符重複，進而沒必要改變P數組值)

舉慄驗證（實在不會啥證實方法，望大佬能夠提供別的方法）

$#b#o#b# 中'o'的位置是 4 ，半徑是 4，相減爲 0,再除 2，依然是 0；

$#1#2#2#1#2#2# 中間'1'的位置爲 8，半徑是 6，相減爲 2，再除 2 是 1 因此原串中最長子串'22122'起始位置爲 1；

關於 $P$ 數組的求法

有關變量：$mx$:迴文串能延伸到的最右端的位置；$id$:爲能延伸到最右端的位置的那個迴文子串的中心點位置

核心代碼：

p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;

====================================================================================
對稱點：

$2 * id - i$是 $j$ 關於中點 $id$ 的對稱點
（$(i + j) / 2 = id$ 方程兩邊同時乘以二, 得：$i + j = 2 * id$ 移項，得：$j = 2 * id - i$）

=========================================================================================

1.當 $mx - i > P[j]$ 的時候，以$A[j]$爲中心的迴文串必然包含在以$A[id]$爲中心的迴文子串中，因此必有P[i] = P[j], 見圖

2.當 $A[j] >= mx - i$ 的時候，以$A[j]$爲中心的迴文子串不必定在
$A[id]$ 爲中心的迴文子串中，但根據對稱，下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以 $A[i]$ 爲中心的迴文子串，其向右至少會擴張到$mx$的位置，也就是說 $A[i] >= mx - i$ 至於 $mx$ 以後的部分是否對稱，就只能老老實實去匹配了

3.對於 $mx <= i$ 的狀況，沒法對 $A[i]$ 作更多的假設，只能$A[i] = 1$，而後再去匹配了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int M = 51000100;
char a[M],s[M << 1]; 
int n,p[M << 1],ans = 1;
//===============================
void pre_(){
    s[0] = s[1] = '#';
	for(int i = 1;i <= n; i++){
		s[i * 2] = a[i];
		s[i * 2 + 1] = '#';
	}	
  n = n * 2 + 1;
}
//===============================
void Mana_(){
	int mx = 0,id;
	for(int i = 1;i < n; i++){
		if(i < mx)//在範圍內manacher精髓 
		p[i] = min(p[(id << 1) - i],p[id] + id - i);//前兩種狀況 
		else 
		p[i] = 1;
	   while(s[i + p[i]] == s[i - p[i]])p[i]++;//繼續擴展p[i]長度 
	   if(i + p[i] > mx){
	   	  mx = i + p[i];//更新mx,id值
		  id = i;
	   }
    }
}
int main(){
	scanf("%s", a + 1);
	n = strlen(a + 1);
	pre_();
    Mana_();
	for(int i = 0;i <= n * 2 + 1; i++)
	        ans = max(ans, p[i]);
    printf("%d", ans - 1);
}