R語言基於ARCH模型股價波動率建模分析

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引言

金融中一個重要度量是與資產相關的風險，而資產波動率是最經常使用的風險度量。然而，資產波動率的類型有多種。波動率是期權訂價和資產分配中得一個關鍵顏色。波動率不能直接觀測的性質在波動率研究和建模中有很是重要的含義

數據選取

筆者選取1973年1月到2009年12月，英特爾公司（INTC）股票的每個月收盤價數據，同時也收集同期的S&P指數數據，前六個數據樣本以下所列：

## date intc sp

## 1 19730131 0.010050 -0.017111

## 2 19730228 -0.139303 -0.037490

## 3 19730330 0.069364 -0.001433

## 4 19730430 0.086486 -0.040800

## 5 19730531 -0.104478 -0.018884

## 6 19730629 0.133333 -0.006575

模型分析

①模型的結構

用rtrt表示某項資產在tt時刻的對數收益率。波動率研究的基本思想是，序列rtrt是先後不相關的或低階先後相關的，可是序列不是獨立的。做爲說明，考慮Intel公司股票從1973年1月到2009年12月的月對數收益率，共有444個觀察值，下圖給出了該對數收益率的時序圖。

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收益率序列看起來是平穩且隨機的。接下來，咱們給出其樣本自相關函數（ACF）,同時也做出對數收益率的絕對值序列｜rt｜｜rt｜的樣本自相關函數。

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對數收益率序列的ACF顯示除了在滯後爲7和14時有較小相關性以外，沒有顯著的序列先後相關性，而且序列rtrt的Ljung-Box統計量代表 18.6760744,相應的ｐ值爲 0.0966514.而對數收益率的絕對值序列｜rt｜｜rt｜顯示具備序列相關性，而且序列｜rt｜｜rt｜的Ljung-Box統計量代表 124.9064353,相應的ｐ值接近於 0。所以，Intel公司股票月對數收益率序列是先後不相關的，但不是獨立的。咱們用ARCH模型去刻畫收益率序列的這種不獨立性。

爲了把波動率模型放在一個適當的框架中，考慮給定Ft−1Ft−1時rtrt的條件均值和條件方差，即：

μt=E(rt|Ft−1),σ2t=Var(rt|Ft−1)=E[(rt−μt)2|Ft−1]μt=E(rt|Ft−1),σt2=Var(rt|Ft−1)=E[(rt−μt)2|Ft−1]

其中，Ft−1Ft−1是在t−1t−1時刻已知的信息集。樣本公司的股票收益率序列rtrt即便有先後相關性也很弱。咱們假定rtrt服從簡單的ARMA(p,q)模型，Ljung-Box統計量代表Intel股票的月對數收益率序列沒有序列相關性。咱們對對數收益率序列進行單樣本檢驗,確認序列rtrt的均值顯著不等於０.

## $statistic

## t

## 2.37881

##

## $p.value

## [1] 0.01779151

更具體地說，檢驗H0:μ=0和Ha:μ≠0H0:μ=0和Ha:μ≠0的ｔ比爲2.3788，p值爲0.01779.所以，對Intel公司股票的對數收益率，有rt=μt+εtrt=μt+εt，其中μt=μμt=μ爲常數。

②ARCH效應的檢驗

對於Intel公司股票的月對數收益率序列，均值方程僅僅由一個常數構成。

記εt=rt−μtεt=rt−μt爲均值方程的殘差。平方序列ε2tεt2能夠用來檢驗條件異方差性，即ARCH效應，咱們採用Mcleod和Li(1983)提出的將Ljung-Box統計量ＱQ(m)Q(m)應用於序列ε2tεt2，該檢驗統計量的原假設是序列ε2tεt2前ｍ個間隔的ACF值都爲０.

ε2t=α0+α1ε2t−1+⋅⋅⋅+αmε2t−m+et,t=m+1,⋅⋅⋅,Tεt2=α0+α1εt−12+···+αmεt−m2+et,t=m+1,···,T

ε2tεt2的Ljung-Box統計量Q(12)Q(12)=92.938884，其ｐ值接近於０,所以代表有很強的ARCH效應。也能夠用Engle的拉格朗日乘子法(m=12),archTest檢驗結果顯示,F的值爲4.978,相應的p值接近於0，進一步代表Intel公司股票對數收益率有很強的 ARCH效應。

③ARCH模型的創建

ARCH模型的基本思想是:1)資產收益率的擾動序列εtεt是先後不相關的，但不是獨立的;2)εtεt的不獨立性能夠用其滯後值的簡單二次函數來表述。ARCH(m)模型假定

εt=σtϵt,σ2t=α0+α1ε2t−1+⋅⋅⋅+αmε2t−mεt=σtϵt,σt2=α0+α1εt−12+···+αmεt−m2

，其中ϵtϵt是均值爲０、方差爲１的獨立同分布(iid)隨機變量序列，且α0>0α0>0,對i>0i>0有αi≥0αi≥0.係數αiαi必須知足一些正則性條件以保證εtεt的無條件方差是有限的。咱們假定ϵtϵt服從標準正態分佈。

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上圖給出了均值調整對數收益率的平方序列的樣本ACF和PACF.從PACF圖中，咱們能夠看出在間隔爲１、２、３和１１上有顯著的相關性。爲了保持模型簡單，咱們對波動率創建一個ARCH(3)模型。相應的，爲Intel公司股票的月對數收益率創建一個以下模型：

rt=μ+εt,εt=σtϵt,σ2t=α0+α1ε2t−1+α2ε2t−2+α3ε2t−3rt=μ+εt,εt=σtϵt,σt2=α0+α1εt−12+α2εt−22+α3εt−32

假定ϵtϵt是獨立同分布的標準正態序列。

咱們獲得的擬合模型爲：rt=0.0126+εt,σ2t=0.0104+0.2329ε2t−1+0.0751ε2t−2+0.0520ε2t−3rt=0.0126+εt,σt2=0.0104+0.2329εt−12+0.0751εt−22+0.0520εt−32而且，各個參數估計值的標準偏差分別是0.005五、0.00十二、0.11五、0.0473和0.0451,統計報告見附錄。

可見，α2α2和α3α3的估計值在5%的水平下不是統計顯著的。咱們去掉兩個不顯著參數，簡化模型爲ARCH(1) ,從新得出以下擬合模型rt=0.0131+εt,σ2t=0.0110+0.3750ε2t−1rt=0.0131+εt,σt2=0.0110+0.3750εt−12其中，各個參數估計值的標準偏差分別是0.005三、0.0021和0.1126,而且因此估計都是高度顯著的，統計報告見附錄。

④ARCH模型的思考

咱們對於Intel公司股票波動率創建的上述模型是否是就能充分地描述給定數據的條件異方差性了呢？

如下，咱們對殘差進行標準化處理，獲得序列{εt^εt^}，{εt^εt^}的樣本ACF和樣本PACF圖以下所示：

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PACF圖代表在標準化殘差的平方序列的高階間隔上仍然有序列相關性。{εt^εt^}的Ljung-Box統計量爲Q(10)=16.58Q(10)=16.58,p=0.08p=0.08;Q(20)=38.81Q(20)=38.81,p=0.007p=0.007.所以，若是隻是關注低階的模型，那麼在５％水平下，以上所求的ARCH(1)模型就能充分地描述給定數據的條件異方差。