時間複雜度和空間複雜度

時間複雜度

執行算法所需的計算工做量。通常來講，計算機算法是問題規模 n的函數 f(n),算法的時間複雜度也所以記作 T(n)=O(f(n));
常見時間複雜度有:常數階、線性階、平方階、立方階、對數階、 nlog2n階、指數階
效率： O(1) > O(log2n)> o(n)> o(nlog2n) > o(n^2) > o(n^3) > o(2^n) > o(n!) > o(n^n)

其餘概念

• 最壞狀況：最壞狀況時的運行時間，一種保證。若是沒有特別說明，說的時間複雜度即爲最壞狀況的時間複雜度

時間複雜度計算方式

舉例：計算1+2+3+....+n的和

$sum=0

for($i=1;$i<=$n;$i++){
   $sum+=$i
}

能夠看到循環了n次，因此時間複雜度就是O(n), 時間複雜度就是程序計算次數

其餘說明

1.用常數1來取代全部時間中的全部加法常數

好比上面的例子中，無論n爲多少，計算次數都是3，那麼時間複雜度爲 O(1),而不是 O(3)

2.在修改後的運行次數函數中，只保留最高階項

好比運算的次數爲 n^2+1,那麼爲時間複雜度爲 o(n^2)

3.若是最高階存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數

2n^2+3n+1 ->n^2

爲何會去掉這些值，看下圖

當計算量隨着次數原來越大的時候，n和1的區別不是太大，而n^2曲線變得愈來愈大，因此這也是2n^2+3n+1 ->n^2最後會估量成n^2的緣由,由於3n+1隨着計算次數變大，基本能夠忽略不計，其餘都相似

常數階 O(1)

function test($n){
    echo $n;
    echo $n;
    echo $n;
}

無論$n是多少，只運行3次，那麼時間複雜度就是O(3),取爲O(1)

線性階 O(n)

for($i=1;$i<=$n;$i++){
    $sum+=$i
}

平(立)方階：o(n^2)/o(n^3)

$sum=0;
for($i=1;$i<=$n;$i++){
    for($j=1;$j<$n;$j++){
    $sum+=$j
    }
}

兩次循環，裏面循環執行了 n次，外層循環也執行了 n次，因此時間複雜度爲 O(n^2),立方階同樣

特殊平方階：O(n^2/2+n/2)->O(n^2)

for(){
    for(){
    .....            ----------->n^2
    }
}
                                  +
for(){
                     ------------> n
}

                                  +
                                 
echo $a+$b         --------------> 1

因此總體上計算次數爲 n^2+n+1,咱們算時間複雜度爲 O(n^2)

對數階：O(log2n)

while($n>=1){
    $n=$n/2;
}

n    執行次數
1      1
2      2
3      2

規律：

第一次     第二次       第三次      第四次      第五次
20--------->10---------->5-------->2.5------->1
n          n/2        n/2/2      n/2/2/2    n/2/2/...

全部規律:n/(2^m)=1;咱們須要算出m, 轉換成n=2^m,得出m=log2n,因此時間複雜度爲O(logn)或者O(log2n)

空間複雜度

算法須要消耗的內存空間。即爲S(n)=O(f(n));包括程序代碼所佔用的空間，輸入數據所佔用的空間和輔助變量所佔用的空間這三個方面。計算和表達方式與時間複雜度相似，通常用複雜度的漸近性來表示

關於 O(1)的問題， O(1)是說數據規模和臨時變量數目無關，並非說僅僅定義一個臨時變量。舉例：不管數據規模多大，我都定義100個變量，這就叫作數據規模和臨時變量數目無關。就是說空間複雜度是 O(1)。

空間複雜度計算方式

舉例：冒泡排序的元素交換，空間複雜度 O(1)
冒泡排序就是兩兩交換，中間設置臨時變量存儲交換的值，無論要交換的數據多大，臨時變量始終爲固定數量

冒泡排序:把$arr=[1,3,2,4,6,5]排序出來

原理：兩兩相鄰的數進行比較，若是反序就交換，不然不交換
1     3     2     4    6     5

首先1和3比較，不動
1     3     2     4    6     5

再次3和2比較，交換
1     2     3    4    6     5

再次3和4比較，不動
1     2     3    4    6     5

再次4和6比較，不動
1     2     3    4    6     5

再次6和5比較，交換
1     2     3    4    5     6

for($i=0;$i<=$n;$i++){
    for($j=0;$j<=$n;$j++){
    
    if($arr[$j]>$arr[$j+1]){
       $tmp=$arr[$j]; 
      $arr[$j]=$arr[$j+1];
      $arr[$j+1]=$tmp;
    }
    }
}

因此時間複雜度爲O(n^2),空間複雜度爲O(1)

常見排序算法

冒泡排序、直接插入排序、希爾排序、選擇排序、快速排序、對排序、歸併排序

常見查找算法

二分查找、順序查找

擴展：函數的漸進增加

https://blog.csdn.net/raylee2...